Spectral static replication: theory, numerical convergence and market implementation

This thesis studies static replication of European options from a functional-analytic perspective, with emphasis on spectral representations induced by symmetric integral kernels. Starting from the classical Carr-Madan formula, we reinterpret static replication as a Fredholm integral equation of the first kind and motivate a spectral alternative. Replacing the non-symmetric Carr-Madan kernel with the symmetric straddle kernel G(x,K) = |x − K| yields a compact self-adjoint operator with an orthonormal eigenfunction decomposition. This structure generates a discrete family of payoff building blocks (spectroreplicants) and leads to truncated orthogonal expansions with a natural L2 error control and improved numerical conditioning. We implement the framework on S&P 500 option data. A VIX-style discretization of Carr-Madan pricing is used to infer spectroreplicant prices from a finite strike grid, and we study how accuracy depends on truncation order and strike density. With coarse strike spacing, payoff replication becomes unstable and can produce economically inconsistent proxy prices. Constructing a denser synthetic chain via implied-volatility interpolation substantially improves replication quality and pricing stability. An error analysis highlights that higher-order modes are harder to replicate and can induce non-monotone improvements in N under finite grids. Finally, using one year of daily SPX option data, we document an inverse empirical relationship between implied-volatility level shifts and the L2 norm of the spectroreplicant price vector, and we explore simple forecasting models for its short-term direction.

Questa tesi analizza la replica statica di opzioni europee da una prospettiva funzionaleanalitica, con enfasi su rappresentazioni spettrali basate su kernel integrali simmetrici. A partire dalla formula di Carr-Madan, la replica viene reinterpretata come un’equazione integrale di Fredholm di prima specie e si motiva un approccio spettrale alternativo. Sostituendo il kernel non simmetrico di Carr-Madan con il kernel simmetrico dello straddle G(x,K) = |x − K| si ottiene un operatore compatto autoaggiunto che ammette una decomposizione ortonormale in autofunzioni. Ne deriva una famiglia discreta di payoff elementari (spettroreplicanti) e una rappresentazione troncata con controllo naturale dell’errore in norma L2 e migliore condizionamento numerico. Il framework viene implementato su dati di opzioni sull’S&P 500. Tramite una discretizzazione in stile VIX della formula di Carr-Madan si stimano i prezzi degli spettroreplicanti e si studia come l’accuratezza dipenda dall’ordine di troncamento e dalla densità degli strike. Con strike troppo distanziati la replica dei payoff risulta instabile e può generare prezzi proxy incoerenti. L’interpolazione della smile di volatilità implicita, usata per costruire una griglia sintetica più densa, migliora sensibilmente la qualità della replica e la stabilità del pricing. L’analisi dell’errore evidenzia che i modi di ordine elevato sono più difficili da replicare e che l’effetto di aumentare N può non essere monotono con griglie finite. Infine, su un anno di dati giornalieri SPX, documentiamo una relazione inversa tra spostamenti del livello di volatilità implicita e la norma L2 del vettore dei prezzi spettrali, esplorando anche modelli semplici per prevederne la direzione di breve periodo.