Numerical analysis of transmission error for spur gears

Noise and vibrations are two unwanted aspects of mechanical processes which have been around for a very long time. Apart from general discomfort, they lead to the detriment of humans and machine structures alike overtime. How do gears and there meshing play a role in this has been a topic of research from 1950s. Contributions from likes of S. L. Harris and R. G. Munro and others are still referenced and used for understanding phenomenon like gear noise and vibration. They hypothesized the what and why and came to the conclusion that a phenomenon termed Transmission Error had a great role in this. Harris correctly identified how the lack of correct profile geometry and the bending of teeth during load transfer in a mesh cycle cause the generation of transmission error. Mathematically it was defined as the difference between the ideal angular position of the output shaft, i.e. the position of the shaft which it would have if the gear had perfect tooth profile geometry and were infinitely rigid, minus the actual position which they end up having as both of the conditions are very hard to achieve pragmatically. Research classified two types of transmission error, first the Static Transmission Erro (S.T.E) which incorporates the error generated due to geometrical flaws and is calculated by the slow rotation of the gears at different loads. If the rotational speeds are increased, inertia and acceleration effects will also become significant and this where the second type of transmission error comes in, i.e. the Dynamic Transmission Error (D.T.E). As the name suggests, it takes into account both the S.T.E and the dynamic effects when analyzing for transmission error. The objective of this thesis is to study the former type of transmission error by designing a simulation which involves spur gears, rotating at very low speeds. The spur gear geometry was generated using a custom Python script, in which mathematical formulas and governing equations from gear design text books and ISO Standards are used. This allows for very precise geometry generation in Abaqus. FEM allows us to theoretically meet one criterion of perfect geometry, and focus solely on the effects of tooth bending under load. The findings were in stride with previous work.

Il rumore e le vibrazioni sono due aspetti indesiderati dei processi meccanici presenti ormai da molto tempo. Oltre al disagio generale, essi portano col tempo al deterioramento sia degli esseri umani che delle strutture delle macchine. Il ruolo svolto dagli ingranaggi e dal loro ingranamento in questo contesto è stato oggetto di ricerca fin dagli anni '50. I contributi di studiosi come S. L. Harris, R. G. Munro e altri sono tuttora citati e utilizzati per comprendere fenomeni quali il rumore e le vibrazioni degli ingranaggi. Essi ne ipotizzarono le cause e le dinamiche, giungendo alla conclusione che un fenomeno denominato Errore di Trasmissione gioca un ruolo fondamentale. Harris identificò correttamente come la mancanza di una geometria del profilo corretta e la flessione dei denti durante il trasferimento del carico in un ciclo di ingranamento causino la generazione dell'errore di trasmissione. Matematicamente, esso è stato definito come la differenza tra la posizione angolare ideale dell'albero di uscita — ovvero la posizione che l'albero avrebbe se l'ingranaggio possedesse una geometria del profilo del dente perfetta e fosse infinitamente rigido — meno la posizione effettiva che si riscontra nella realtà, poiché entrambe le condizioni sono molto difficili da ottenere pragmaticamente. La ricerca ha classificato due tipi di errore di trasmissione: il primo è l'Errore di Trasmissione Statico (S.T.E.), che incorpora l'errore generato da difetti geometrici e viene calcolato mediante la rotazione lenta degli ingranaggi a diversi carichi. Se le velocità di rotazione aumentano, anche gli effetti di inerzia e accelerazione diventano significativi; è qui che entra in gioco il secondo tipo di errore di trasmissione, ovvero l'Errore di Trasmissione Dinamico (D.T.E.). Come suggerisce il nome, esso tiene conto sia dello S.T.E. che degli effetti dinamici nell'analisi dell'errore di trasmissione. L’obiettivo di questa tesi è studiare il primo tipo di errore di trasmissione progettando una simulazione che coinvolge ingranaggi cilindrici a denti dritti rotanti a velocità molto basse. La geometria degli ingranaggi è stata generata utilizzando uno script Python personalizzato, nel quale sono state impiegate formule matematiche ed equazioni regolatrici tratte da manuali di progettazione meccanica e standard ISO. Ciò consente una generazione della geometria estremamente precisa in Abaqus. Il metodo degli elementi finiti (FEM) ci permette di soddisfare teoricamente il criterio della geometria perfetta e di concentrarci esclusivamente sugli effetti della flessione dei denti sotto carico. I risultati ottenuti sono in linea con i lavori precedenti.