Simulation of rotating flows with a high-order finite element framework for atmospheric dynamics

Simulating rotating atmospheric flows is essential for understanding and predicting a wide range of geophysical phenomena, since Earth's rotation strongly influences large-scale motion through the Coriolis force and underpins key balanced regimes such as geostrophic equilibrium. Accurate numerical modeling of these flows is particularly challenging because atmospheric dynamics involves many interacting scales: slow, balanced circulations coexist and interact with faster processes, such as gravity and acoustic waves. This thesis presents the extension of a high-order numerical solver for the compressible Euler equations with gravity to the case in which rotation is also considered, enabling the accurate simulation of both balanced dynamics and wave propagation within a unified framework. The main objective is to incorporate and validate the rotational (Coriolis) term in a high-order DG finite element method combined with a second-order IMEX Additive Runge-Kutta time-integration scheme. The solver is implemented in the framework of the open-source deal.II library. The DG method is adopted for its high-order accuracy, conservation properties, and geometry flexibility, while the IMEX approach mitigates stability constraints associated with acoustic waves by treating stiff terms implicitly and advective terms explicitly. The resulting implementation is verified through convergence tests and validated on standard benchmarks, then it is extended to three-dimensional simulations in Cartesian coordinates. Alternative discretisations of the gravity and rotational source terms within the IMEX-DG framework are compared. A non-trivial mathematical analysis is carried out to examine the discrete counterpart of one of these approaches, with the ultimate goal of enabling an efficient implementation and avoiding naive strategies that could lead to incorrect results. Their influence on balance preservation, wave accuracy, and overall stability is investigated, providing a validated reference for further developments of high-order atmospheric solvers.

La simulazione dei flussi atmosferici in rotazione è essenziale per comprendere e prevedere un'ampia gamma di fenomeni geofisici, poiché la rotazione terrestre incide fortemente sul moto su larga scala tramite la forza di Coriolis ed è alla base di regimi di equilibrio fondamentali come l'equilibrio geostrofico. Una modellizzazione numerica accurata di tali flussi è particolarmente impegnativa perché la dinamica atmosferica coinvolge molte scale interagenti: circolazioni lente e bilanciate coesistono e interagiscono con processi più rapidi, come le onde di gravità e le onde acustiche. Questa tesi presenta l'estensione di un solutore numerico ad alto ordine per le equazioni di Eulero comprimibili con gravità al caso in cui si considera anche la rotazione, e permette quindi la simulazione accurata sia della dinamica bilanciata che della propagazione delle onde all'interno di un quadro unificato. L'obiettivo principale consiste nell'incorporare e validare l'implementazione del termine rotazionale (Coriolis) in un metodo ad alto ordine agli elementi finiti discontinui DG, combinato con uno schema di integrazione temporale IMEX Additive Runge-Kutta di secondo ordine. Il solutore è implementato nella libreria open-source deal.II. Il metodo DG è stato adottato per la sua accuratezza ad alto ordine, le proprietà di conservazione e la flessibilità geometrica, mentre l'approccio IMEX riduce i vincoli di stabilità associati alle onde acustiche trattando i termini rigidi associati a queste ultime in modo implicito e i termini di avvezione in modo esplicito. L'implementazione risultante viene verificata attraverso test di convergenza e validata su benchmark bidimensionali, quindi estesa a simulazioni tridimensionali in coordinate cartesiane. Infine, si confrontano discretizzazioni alternative dei termini sorgente di gravità e rotazione all'interno del framework IMEX-DG. Si analizza, inoltre, la controparte discreta di uno di questi approcci, con l’obiettivo finale di consentire un’implementazione efficiente. Il loro impatto sulla preservazione dell'equilibrio, sull'accuratezza delle onde e sulla stabilità complessiva viene investigato, fornendo un riferimento validato per ulteriori sviluppi di solutori atmosferici di alto ordine.