Iterative methods for nonlinear eigenvalue problems

The Gross-Pitaevskii eigenvalue problem (GPEVP) stands as a prominent nonlinear Schrödinger equation in quantum physics, fundamental to the description of ground states in ultracold bosonic gases. The discretization of the GPEVP yields a nonlinear eigenvalue problem characterized by eigenvector-dependent nonlinearities. The literature dedicated to solving the GPEVP integrates a diverse array of numerical techniques drawing from linear algebra, numerics of partial differential equations, and optimization. Sobolev Gradient Flows are among the most successful strategies and are based on a reformulation of the GPEVP into constrained optimization task. This work develops ParaFlowS type algorithms for the solution of GPEVP. The ParaFlow framework utilizes the Parareal algorithm—originally designed for the parallel-in-time discretization of evolution equations—to accelerate the convergence of gradient flows toward a minimum. Specifically, ParaFlowS integrates the Parareal approach with Sobolev Gradient flows (SGF) to create a purely sequential yet accelerated optimization strategy.

Il problema agli autovalori di Gross-Pitaevskii (GPEVP) rappresenta una rilevante equazione di Schrödinger non lineare nell'ambito della fisica quantistica, fondamentale per la descrizione degli stati fondamentali nei gas bosonici ultrafreddi. La discretizzazione del GPEVP produce un problema agli autovalori non lineare caratterizzato da non-linearità dipendenti dagli autovettori. Di conseguenza, la letteratura dedicata alla risoluzione del GPEVP integra una vasta gamma di tecniche numeriche derivanti dall'algebra lineare, dalle equazioni alle derivate parziali e dall'ottimizzazione numerica. Tra le strategie di maggior successo vi sono i flussi di gradiente di Sobolev (SGF), che riformulano la ricerca dello stato fondamentale come un compito di ottimizzazione vincolata. Questo lavoro esplora l'integrazione di tali flussi di gradiente con l'algoritmo ParaFlowS, una specifica realizzazione della classe di metodi di ottimizzazione ParaFlow. Il framework ParaFlow utilizza l'algoritmo Parareal — originariamente progettato per la discretizzazione parallela nel tempo di equazioni di evoluzione — per accelerare il tasso di convergenza dei flussi di gradiente verso un minimo. Nello specifico, ParaFlowS integra l'approccio Parareal con i flussi di gradiente di Sobolev per creare una strategia di ottimizzazione puramente sequenziale ma accelerata.