Optimization of structural beam cross sections

Beam-like structures are extensively utilized across various engineering fields. Their high slenderness makes the cross section configuration a decisive factor in determining the mechanical performance of beams, including stiffness, strength, and stability behavior. Nowadays, an increasing number of beam structures are manufactured using laminated composite materials, owing to their excellent mechanical properties and high design flexibility. This motivates the development of robust optimization tools for the design of beam cross sections, leading to enhanced structural performance and efficient use of materials. ANBA4 is a computational tool for beam cross-sectional analysis, developed to evaluate the mechanical response of anisotropic and inhomogeneous beams. It is particularly suitable for integration into optimization procedures, thereby offering a powerful framework for the design and optimization of beam cross sections. This thesis first discusses the cross-sectional analysis of beams with ANBA4, employing different modeling schemes based on the finite element method. To investigate the linear buckling behavior of prismatic beams, a system of differential equations characterizing the cross-sectional response is derived under geometrically nonlinear assumptions. It is shown that some general solutions become periodic upon reaching the critical stress level, thus allowing them to represent the linear buckling response of the prismatic beams. Based on the ANBA4 code, the thesis develops and validates different optimization tools for the design of beam cross sections. A topology optimization framework for isotropic beam cross sections is proposed based on the Solid Isotropic Material with Penalization (SIMP) method. The objective is to minimize the cross-sectional area fraction, while the constraints can account not only for stiffness and strength requirements, but also for the position of the normal stress center and shear center, as well as the orientation of principal bending axes. To significantly accelerate the optimization procedure, the sensitivity information is efficiently computed using the adjoint method. A set of optimization results is computed to illustrate the impact of different constraints on the final design. Next, an optimization framework for laminated composite beam cross sections is developed to simultaneously optimize both the topology and the laminate properties. In order to improve the overall computational efficiency, a three-dimensional homogenized constitutive law matrix is computed to characterize the response of each element. Different design variables are introduced. The presence of each element is determined by a density variable, while the laminate properties are defined by the laminate orientation and the proportions of 0°, 90°, and ±45° plies. The same stiffness-related constraints applied in the isotropic cases can also be enforced in this framework, and the sensitivity analysis is again based on the adjoint method. P-norm global functions are introduced to establish the strength constraints, while the Tsai-Wu failure criterion is adopted. A set of different examples is computed to demonstrate the effectiveness of the proposed method. Finally, a two-level stacking sequence optimization procedure is developed for the design of thin-walled composite beam cross sections, with the laminate composed of 0°, 90°, and ±45° plies. The first level is formulated as a gradient-based optimization problem, in which the design variables are defined based on the lamination parameters, with the objective of minimizing the area fraction. The constraints account for both compliance terms and the buckling response. Then, the best stacking sequence can be identified through a permutation genetic algorithm. Multiple optimization cases are computed to illustrate the effect of different constraint values on the final results.

Le travi sono ampiamente utilizzate in diversi campi dell'ingegneria. La loro elevata snellezza rende la configurazione della sezione trasversale un fattore decisivo nel determinare le loro prestazioni meccaniche, tra cui rigidezza, resistenza e carico critico di instabilità. Al giorno d'oggi, un numero crescente di travi viene realizzato utilizzando materiali compositi, grazie alle loro eccellenti proprietà meccaniche e all'elevata flessibilità progettuale. Ciò motiva lo sviluppo di strumenti di ottimizzazione robusti per la progettazione delle sezioni trasversali delle travi, che portino a prestazioni strutturali migliorate e a un uso efficiente dei materiali. ANBA4 è uno strumento computazionale per l'analisi delle sezioni di travi, sviluppato per valutare la risposta meccanica di travi anisotrope e non omogenee. È particolarmente adatto all'integrazione in procedure di ottimizzazione, offrendo così un potente framework per la progettazione e l'ottimizzazione delle sezioni di travi. Questa tesi discute inizialmente l'analisi delle sezioni di travi con ANBA4, impiegando diversi schemi di modellazione basati sul metodo degli elementi finiti. Per investigare il comportamento di instabilità lineare delle travi prismatiche, viene derivato un sistema di equazioni differenziali che caratterizza la risposta strutturale sotto ipotesi di non linearità geometrica. Si dimostra che alcune soluzioni generali diventano periodiche al raggiungimento di un valore di sforzo critico, consentendo così di rappresentare la risposta di instabilità linearizzata delle travi prismatiche. Sulla base del codice ANBA4, la tesi sviluppa e valida diversi strumenti di ottimizzazione per la progettazione delle sezioni trasversali delle travi. Viene proposto un framework di ottimizzazione topologica per sezioni di travi isotrope basato sul metodo SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization). L'obiettivo è minimizzare l'area della sezione, mentre i vincoli possono tenere conto non solo dei requisiti di rigidezza e resistenza, ma anche della posizione del centro delle tensioni normali e del centro di taglio, nonché dell'orientamento degli assi principali di flessione. Per accelerare significativamente la procedura di ottimizzazione, le informazioni di sensitività vengono calcolate in modo efficiente mediante il metodo aggiunto. Numerosi risultati di ottimizzazione illustrano l'impatto dei diversi vincoli sul progetto finale. Successivamente, viene sviluppato un framework di ottimizzazione per sezioni di travi in materiale composito, al fine di ottimizzare simultaneamente sia la topologia che le proprietà del laminato. Per migliorare l'efficienza computazionale complessiva, viene calcolato un legame costitutivo omogenizzato tridimensionale che permette di caratterizzare la risposta di ciascun elemento finito. Vengono introdotte diverse variabili di progetto. La presenza di ciascun elemento è determinata da una variabile di densità, mentre le proprietà del laminato sono definite dall'orientamento del laminato e dalle proporzioni delle lamine a 0°, 90° e ±45°. Gli stessi vincoli relativi alla rigidezza applicati nei casi isotropi possono essere imposti anche in questo framework, e l'analisi di sensitività è nuovamente basata sul metodo aggiunto. Vengono introdotte funzioni globali di tipo P-norm per stabilire i vincoli di resistenza, adottando il criterio di rottura di Tsai-Wu. Diversi esempi dimostrano l'efficacia del metodo proposto. Infine, viene sviluppata una procedura di ottimizzazione a due livelli della sequenza di laminazione per la progettazione di sezioni di travi composite in parete sottile, con il laminato composto da lamine a 0°, 90° e ±45°. Il primo livello è formulato come un problema di ottimizzazione basato sul gradiente, in cui le variabili di progetto sono definite sulla base dei parametri di laminazione, con l'obiettivo di minimizzare l'area della sezione. I vincoli tengono conto sia dei termini di cedevolezza che della risposta di instabilità. Successivamente, la migliore sequenza di laminazione può essere identificata mediante un algoritmo genetico a permutazione. Vengono calcolati molteplici casi di ottimizzazione per illustrare l'effetto dei diversi valori dei vincoli sui risultati finali.