Classical limit of the ferromagnetic Heisenberg model

In this thesis, we rephrase the result obtained by Lieb in 1973 about the large spin limit of the Ferromagnetic Quantum Heisenberg Model (QHM), in the language of the semiclassical analysis. In particular, we establish a rigorous quantization procedure that allows us to compute the semiclassical limit as the spin quantum number converges to infinity. We address the question by exploiting the Holstein-Primakoff (HP) representation, which allows us to work in the framework of quantization on the complex field. The main result of the thesis is a geometric characterization of the HP transformation at the classical level. In fact, we explicitly identify the change of variables that connects our result to Lieb's classical result. This characterization allows us to describe the effect of the kinematical interaction in the large spin limit. In fact, we prove that its only effect, for each lattice site, is that of selecting the subset of the complex field which corresponds, by means of the change of variables previously mentioned, to the classical spin phase space. Finally, we compute the classical limit of Bloch coherent states and recover the same geometric characterization. Notice that we are studying the quantum Heisenberg model in a high-temperature regime, which does not exhibit a phase transition. So, in some sense, the classical symmetry breaking happens in the quantum counterpart, even if not at the dominant order with respect to the semiclassical parameter.

In questa tesi riformuliamo, nel linguaggio dell’analisi semiclassica, il risultato ottenuto da Lieb nel 1973 sul limite di grande spin del modello ferromagnetico quantistico di Heisenberg (QHM). In particolare, stabiliamo una procedura di quantizzazione rigorosa che ci permette di calcolare il limite semiclassico quando il numero quantico di spin tende all’infinito. Affrontiamo la questione sfruttando la rappresentazione di Holstein-Primakoff (HP), che ci consente di lavorare nel quadro della quantizzazione sul campo complesso. Il risultato principale della tesi è una caratterizzazione geometrica della trasformazione HP a livello classico. Rendiamo infatti esplicito il cambio di variabili che collega il nostro risultato a quello classico di Lieb. Questa caratterizzazione ci permette di descrivere l’effetto dell’interazione cinematica nel limite di grande spin. Dimostriamo infatti che il suo unico effetto, per ciascun sito del reticolo, è quello di selezionare il sottoinsieme del campo complesso che corrisponde, mediante il cambio di variabili precedentemente menzionato, allo spazio delle fasi classico dello spin. Infine, calcoliamo il limite classico degli stati coerenti di Bloch e recuperiamo la stessa caratterizzazione geometrica. Si noti che stiamo studiando il modello quantistico di Heisenberg in un regime di alta temperatura, che non presenta una transizione di fase. Dunque, in un certo senso, la rottura spontanea di simmetria classica si manifesta nella controparte quantistica, anche se non all’ordine dominante rispetto al parametro semiclassico.