High-performance computing for fractional rheology

Soft materials such as polymers, hydrogels, and biological tissues are often subjected to mechanical forces, and understanding how they respond is essential for engineering applications — a question studied by rheology. These materials typically dissipate forces gradually, often following a power-law behaviour in time. Fractional calculus, which generalizes differentiation and integration to non-integer order, provides a mathematical tool for capturing this behaviour with a minimal set of parameters. However, the high computational cost of fractional models limits their adoption in practical engineering workflows. In this work, we address this bottleneck by reformulating fractional viscoelastic models in a differential, time-domain framework, replacing the costly convolution-based evaluation with a discretized approach better suited to high-performance computing. This removes the main computational obstacles and enables more demanding simulation and fitting tasks. To achieve this, we developed NumFracDiff, an open-source Julia library for the evaluation of fractional derivatives via Finite Difference discretization, further accelerated through code parallelization, the Short Memory Principle, and the Fast Fourier Transform. Numerical validation confirms that all schemes are accurate, with multi-threading and FFT achieving speedups of 11 − 15×. The differential approach was then applied to two practical tasks. For parameter identification, replacing the convolution-based cost function with the differential or FFT-based formulation yields over 20× speedup in fitting fractional models. For stress and strain prediction under arbitrary loading histories, the two methods were validated against analytical solutions; FFT achieves speedups of up to 100× over convolution, while the parallel finite-difference solver provides intermediate but consistent gains. Both extensions were integrated into the open-source rheology framework RHEOS.

I materiali morbidi, quali polimeri, idrogel e tessuti biologici, sono spesso sottoposti a forze meccaniche, e comprendere come reagiscono è fondamentale per le applicazioni ingegneristiche - un aspetto studiato dalla reologia. Questi materiali in genere dissipano le forze in modo graduale, seguendo spesso un andamento di legge di potenza nel tempo. Il calcolo frazionario, che generalizza la derivazione e l’integrazione a ordini non interi, fornisce uno strumento matematico per descrivere questo comportamento con un insieme minimo di parametri. Tuttavia, l’alto costo computazionale dei modelli frazionari ne limita l’adozione nei flussi di lavoro ingegneristici pratici. In questo lavoro affrontiamo tale collo di bottiglia riformulando i modelli viscoelastici frazionari in un quadro differenziale nel dominio del tempo, sostituendo il costoso calcolo basato sulla convoluzione con un approccio discretizzato più adatto al calcolo ad alte prestazioni. Ciò elimina i principali ostacoli computazionali e consente di eseguire attività di simulazione e fitting più complesse. A tal fine, abbiamo sviluppato NumFracDiff, una libreria open-source in Julia per il calcolo delle derivate frazionarie tramite discretizzazione a differenze finite, accelerata grazie alla parallelizzazione del codice, allo Short Memory Principle e alla Fast Fourier Transform. La validazione numerica conferma che tutti gli schemi sono accurati, con il multi-threading e la FFT che ottengono uno speedup di 11 − 15×. L’approccio differenziale è stato quindi applicato a due compiti pratici. Per l’identificazione dei parametri, la sostituzione della funzione di costo basata sulla convoluzione con la formulazione differenziale o sulla FFT consente di ottenere uno speedup di oltre 20× nel fitting dei modelli frazionari. Per la previsione di stress e strain in presenza di carichi arbitrari, i due metodi sono stati convalidati rispetto alle soluzioni analitiche; l’FFT raggiunge velocità fino a 100× superiori rispetto alla convoluzione, mentre il risolutore a differenze finite parallelo fornisce guadagni intermedi ma costanti. Entrambe le estensioni sono state integrate nel framework reologico open-source RHEOS.