Reduced order modeling for PDEs on parametrized geometries via shallow recurrent decoder network and operator learning

Reduced order models (ROMs) are essential to enable repeated-query tasks such as optimal control, design optimization, and parameter estimation for problems governed by partial differential equations, where full-order solvers are usually computationally prohibitive. Classical ROMs rely on the assumption that all solution snapshots share a common spatial discretization. However, this assumption fails when the computational domain itself varies as a function of a set of geometric parameters. The goal of this work is to extend the SHallow REcurrent Decoder (SHRED) framework to address the case of parametric PDEs subject to both physical and geometric variability, recasting SHRED within an operator-learning setting. With this aim, two architectures are proposed and analyzed. The former, SHRED-O, extends the recurrent sensing strategy of SHRED by replacing the direct field reconstruction with a learned, geometry-aware spatial basis modeled via a DeepONet-inspired trunk network operating on physical coordinates, enabling mesh-independent generalization across domains of varying topology or resolution. The latter, SHRED-O-POD, is a special case in which the learned basis is replaced by a precomputed POD basis, in the spirit of POD-DeepONet. The proposed architectures are tested on three benchmarks of increasing complexity: a parametrized double gyre flow, an unsteady Navier--Stokes flow past a cylinder with varying radius, position, and Reynolds number, and a flow past an asymmetric elliptical obstacle governed by two independent shape parameters. While SHRED-O-POD remains the natural choice in fixed-geometry settings, for which the POD basis is optimal by construction, SHRED-O proves to be more effective when the domain varies, by learning geometry-aware spatial bases that adapt to the changing shape and are qualitatively similar to the POD modes. Beyond field reconstruction, the architecture can also recover unobserved physical parameters directly from sensor data, and it retains good accuracy even when explicit geometric descriptors are replaced with a signed distance function, broadening its applicability to settings where the domain shape is known only implicitly.

I modelli ridotti (ROM, Reduced Order Models) sono fondamentali per rendere possibili task a query ripetute come il controllo ottimale, l'ottimizzazione del design e la stima dei parametri per problemi governati da equazioni alle derivate parziali, i cui solver numerici sono solitamente proibitivi dal punto di vista computazionale. I ROM classici basati su proiezione si basano sull'assunzione che tutti gli snapshot della soluzione condividano una discretizzazione spaziale comune. Tuttavia, questa assunzione viene meno quando il dominio computazionale stesso varia. L'obiettivo di questo lavoro è estendere il framework di sensing SHRED (SHallow REcurrent Decoder) per affrontare EDP parametriche soggette sia a variabilità fisica che geometrica, riformulando SHRED in un contesto di operator learning. Vengono proposte due architetture. SHRED-O-POD combina la strategia di sensing di SHRED con una base POD (Proper Orthogonal Decomposition) precalcolata, nello spirito di POD-DeepONet, mentre SHRED-O sostituisce questa base fissa con una rete neurale adattiva rispetto alla geometria , ispirata alla trunk di DeepONet, consentendo una generalizzazione indipendente dalla mesh su domini di topologia variabile. Le architetture proposte vengono testate su tre benchmark di complessità crescente: un flusso a doppio vortice parametrizzato, un flusso di Navier--Stokes non stazionario attorno a un cilindro con raggio, posizione e numero di Reynolds variabili, e un flusso attorno a un ostacolo ellittico asimmetrico la cui forma dipende da due parametri indipendenti. Mentre SHRED-O-POD rimane la scelta naturale in configurazioni a geometria fissa, dove la base POD è ottimale per costruzione, SHRED-O si rivela più efficace quando il dominio varia, apprendendo basi spaziali adattive alla geometria. Oltre alla ricostruzione della soluzione, l'architettura è in grado di recuperare parametri fisici non osservati, come il numero di Reynolds, direttamente dai dati dei sensori, e mantiene una buona accuratezza anche quando i parametri geometrici espliciti vengono sostituiti con una funzione di distanza con segno (signed distance function), ampliando la sua applicabilità a contesti in cui la forma del dominio è nota solo implicitamente.