Conformal prediction multibands for Functional Data

The development of valid and efficient prediction bands for functional data has received growing interest in recent years, with the conformal prediction framework providing finite-sample distribution-free coverage guarantees. However, existing methods can be inefficient when dealing with multimodal functional data, as they construct global bands that must cover all groups simultaneously, leading to overly conservative widths. This thesis builds upon recent advances in functional conformal prediction to address this limitation. We propose a novel nonconformity score that exploits the group structure of the data to generate group-specific multibands, while strictly maintaining the nominal coverage guarantees of the conformal framework. The performance of the proposed method is evaluated through an extensive simulation study across various scenarios, including different mixture proportions, group separations, and heteroscedasticity, and is applied to the Berkeley Growth Study, considering both the height curves and the derived growth velocity curves. Our empirical results demonstrate that the multiband width provides an effective criterion for selecting the true number of clusters $k$ directly from the bands, reducing the need for specific diagnostic tools, such as the Within Sum of Squares. These results suggest that the proposed multiband framework offers a unified approach to both uncertainty quantification and model selection for multimodal functional data.

Lo sviluppo di bande di previsione valide ed efficienti per dati funzionali ha ricevuto un interesse crescente negli ultimi anni, con il framework della conformal prediction che fornisce garanzie di copertura \textit{finite-sample} e \textit{distribution-free}. Tuttavia, i metodi esistenti possono risultare inefficienti nel trattare dati funzionali multimodali, in quanto costruiscono bande globali che devono coprire tutti i gruppi simultaneamente, portando a larghezze eccessivamente conservative. Questa tesi si basa sui recenti sviluppi nella conformal prediction per dati funzionali per affrontare questa limitazione. Proponiamo un nuovo nonconformity score che sfrutta la struttura a gruppi dei dati per generare multibande specifiche per ogni gruppo, mantenendo rigorosamente le garanzie di copertura nominale del framework conformal. Le prestazioni del metodo proposto vengono valutate attraverso un esteso studio di simulazione in diversi scenari, tra cui diverse proporzioni di mistura, separazioni tra gruppi ed eteroschedasticità, e viene applicato al Berkeley Growth Study, considerando sia le curve di altezza che le curve di velocità di crescita derivate. I risultati empirici dimostrano che la larghezza della multibanda fornisce un criterio efficace per selezionare il vero numero di cluster $k$ direttamente dalle bande, riducendo la necessità di strumenti diagnostici specifici come la Within Sum of Squares. Questi risultati suggeriscono che il multiband framework proposto offre un approccio unificato sia alla quantificazione dell'incertezza che alla selezione del modello per dati funzionali multimodali.