Optimal investment and reinsurance under partial information and stochastic claim frequency

We study and solve the optimal investment–and–reinsurance problem for an insurance company facing stochastic frequency of claims, with access to reinsurance and operating in a multi–asset financial market under unknown market price of risk. Stochastic filtering techniques allow us to state an equivalent stochastic optimal control problem under full observation, which we solve through the Dynamic Programming Principle approach. We find explicit solutions under different modelling choices for claim severity and premium calculation principle. We also state sufficient conditions for the existence and uniqueness of the optimal reinsurance strategy under a generic reinsurance function, linking the particular cases of proportional reinsurance and excess–of–loss reinsurance to this general framework. Finally, we conduct a numerical analysis, testing the model in the context of life insurance claims, with the underlying stochastic intensity calibrated on real Italian mortality data, and showing the impact of the stochastic nature of claim intensity and the choice of premium principle on the optimal reinsurance level.

In questo lavoro si affronta il problema di una compagnia assicurativa che deve decidere simultaneamente come investire le proprie riserve e quanta parte del rischio sinistri cedere in riassicurazione, operando in un contesto caratterizzato da informazione parziale e da una frequenza dei sinistri di natura stocastica. In particolare, si considera un mercato finanziario composto da un’attività priva di rischio e da più attività rischiose, il cui premio al rischio non è direttamente osservabile. Per rappresentare il mercato assicurativo, invece, si estende il modello classico di Cramér–Lundberg, introducendo un’intensità di arrivo dei sinistri dipendente da un fattore di rischio stocastico descritto da un processo di diffusione. La presenza di fattori non osservabili rende il problema di controllo ottimo stocastico non direttamente trattabile. Per superare tale difficoltà vengono impiegate tecniche di filtraggio stocastico, che consentono di sostituire le variabili non osservabili con le loro distribuzioni condizionate rispetto all’informazione disponibile. Si ottiene così un problema equivalente in cui tutte le variabili di stato risultano osservabili e che può essere risolto mediante il principio di programmazione dinamica. La strategia di investimento ottimo, ottenuta nel caso di più attività rischiose, generalizza i risultati disponibili in letteratura per il caso con una sola attività rischiosa, che viene discusso come caso particolare e risolto esplicitamente. Per quanto riguarda la componente di riassicurazione del problema, invece, si trovano le strategie ottimali sotto differenti ipotesi sulla distribuzione statistica della severità dei sinistri e sul principio di calcolo del premio riassicurativo. Si considera inizialmente una specifica forma di riassicurazione, quella proporzionale, al fine di ottenere soluzioni esplicite. Successivamente il problema viene esteso a una forma generale di riassicurazione, per la quale vengono formulate condizioni sufficienti che garantiscono esistenza e unicità della strategia ottimale. Tale impostazione generale permette di ricondurre, come casi particolari, sia la riassicurazione proporzionale sia la riassicurazione excess-of-loss. La tesi si conclude con un’applicazione numerica al settore delle assicurazioni sulla vita. Il fattore di rischio che governa l’intensità dei sinistri è definito come la componente stocastica del tasso di mortalità osservato, e viene modellato mediante un processo di Cox–Ingersoll–Ross calibrato su dati reali di mortalità della popolazione italiana. Attraverso simulazioni numeriche vengono analizzati l’andamento temporale della strategia riassicurativa ottimale e la sua sensibilità ai principali parametri del modello, evidenziando in particolare l’impatto della natura stocastica della mortalità, della distribuzione dei sinistri e della scelta del principio di calcolo del premio riassicurativo.