On the existence and uniqueness of non-negative solutions for reaction-diffusion systems with large and infinite competition

We study an elliptic competition-diffusion model for an arbitrary number of species that coexist in a common domain of arbitrary spatial dimension, with non-homogeneous Dirichlet boundary conditions. We extend some results known in the literature for the case without reaction to the case of logistic reaction. Including this additional term enables one to model population growth by accounting for overcrowding effects and environmental limitations. Consequently, the population density cannot exceed a certain carrying capacity. First, we consider the case of finite competition rate, proving existence and uniqueness for the corresponding system. Then, we establish some regularity results, which allow us to pass to the limit as the competition rate tends to infinity. We observe that, even in the presence of logistic growth, spatial segregation occurs, meaning that all the species survive by distributing among disjoint habitats. Moreover, the asymptotic regime is described by a system of elliptic inequalities. To conclude, we provide two different proofs of uniqueness for the limit system. The first relies on the uniqueness of the minimizer of the energy functional associated with the problem. The strategy is based on finding that each solution of the asymptotic system coincides with the minimizer. The second proof consists in a contradiction argument. Supposing that two solutions exist, we construct a sequence of balls inside which the difference between two specific combinations of the solutions remains strictly positive. As these balls approach the boundary, the difference must vanish, since the two solutions share the same boundary conditions. Therefore, this leads to a contradiction.

Studiamo un modello ellittico di competizione-diffusione per un numero arbitrario di specie che coesistono in un dominio comune di arbitraria dimensione spaziale, con condizioni al bordo di Dirichlet non omogenee. Estendiamo alcuni risultati noti in letteratura nel caso di reazione nulla al caso di reazione logistica. L’introduzione di questo termine aggiuntivo consente di modellizzare la crescita di una popolazione tenendo conto degli effetti del sovraffollamento e dei limiti ambientali. Di conseguenza, la densità di popolazione non può superare una certa capacità portante. Come prima cosa, consideriamo il caso di tasso di competizione finito, dimostrando esistenza e unicità per il sistema corrispondente. Successivamente, stabiliamo alcuni risultati di regolarità che ci consentono di passare al limite per tasso di competizione tendente a infinito. Osserviamo che, anche in presenza di un termine di crescita logistica, si verifica il fenomeno di segregazione spaziale, il quale comporta che tutte le specie sopravvivano occupando habitat disgiunti. Inoltre, osserviamo che il regime asintotico è descritto da un sistema di disequazioni ellittiche. Forniamo due dimostrazioni differenti di unicità per il sistema limite. La prima sfrutta l’unicità del minimizzatore del funzionale di energia associato al problema. La strategia consiste nel trovare che ciascuna soluzione del sistema asintotico coincide con il minimizzatore. La seconda dimostrazione si basa su un ragionamento per assurdo. Supponendo che esistano due soluzioni, costruiamo una sequenza di palle all’interno delle quali la differenza tra due specifiche combinazioni delle soluzioni rimane strettamente positiva. Nel momento in cui le palle si avvicinano al bordo, la differenza deve azzerarsi, siccome le due soluzioni condividono le stesse condizioni al bordo. Questo conduce dunque ad una contraddizione.