Machine learning techniques to enhance hierarchical model reduction

Hierarchical Model Reduction (HiMod) is a Reduced Order Modeling technique for partial differential equations on domains with a dominant spatial direction, such as pipe-like geometries arising in hemodynamics, environmental flows, and industrial applications. By exploiting a separation-of-variables principle, HiMod recasts the original multi-dimensional problem into a system of coupled one-dimensional equations, where the transverse dynamics are approximated through a modal expansion. This separation yields significant computational savings while retaining the accuracy of the full-order model. In parametric settings constructing the modal basis requires the repeated solution of a Sturm-Liouville eigenvalue problem for each new parameter configuration, constituting one of the most computationally demanding steps of the HiMod pipeline. In this work, we propose to replace this step with fast feedforward neural network (FNN) inference, bypassing the repeated eigenvalue solve while preserving the accuracy of the educated basis. Two complementary strategies are investigated. In the first approach, the modal basis functions are represented through truncated Fourier series expansions, and a FNN is trained to predict the corresponding coefficients. In the second approach, the FNN directly predicts the pointwise values of the basis functions over the transverse fiber, without relying on any intermediate functional representation. Both approaches are validated on parametric advection-diffusion-reaction problems with Dirichlet, Neumann, and Robin lateral boundary conditions, in both homogeneous and non-homogeneous settings.

HiMod (Hierarchical Model reduction) è una tecnica di riduzione gerarchica di modello per equazioni differenziali alle derivate parziali definite su domini caratterizzati da una direzione spaziale dominante, come le geometrie di tipo tubolare tipiche dell'emodinamica, dei problemi di trasporto e di numerose applicazioni industriali. Basandosi sulla separazione delle variabili, HiMod riconduce il problema multidimensionale originale a un sistema di equazioni unidimensionali, in cui le dinamiche trasversali sono approssimate mediante basi modali. Questo approccio consente di ridurre significativamente il costo computazionale mantenendo un elevato livello di accuratezza. Nei contesti parametrici, la costruzione delle basi modali richiede la risoluzione ripetuta di un problema agli autovalori di Sturm-Liouville per ogni nuova configurazione parametrica, rappresentando uno dei passaggi più onerosi dell'intera procedura HiMod. In questo lavoro proponiamo di sostituire tale fase mediante l'impiego di reti neurali feedforward (FNN), evitando la risoluzione ripetuta del problema agli autovalori e preservando l'accuratezza delle basi modali educate. A tale scopo, vengono investigate due diverse strategie. Nel primo approccio, le basi modali sono rappresentate mediante sviluppi in serie di Fourier troncate e una FNN viene addestrata a predirne i coefficienti. Nel secondo approccio, la FNN predice direttamente i valori puntuali delle basi modali sulla fibra trasversale, senza ricorrere a una rappresentazione tramite coefficienti. Entrambi gli approcci sono validati su problemi parametrici di trasporto-diffusione-reazione con condizioni al contorno laterali di tipo Dirichlet, Neumann e Robin, sia in configurazioni omogenee sia non omogenee.