Metodi di collocazione stocastica per la simulazione di flussi in mezzi eterogenei

This thesis focuses on the study of different kinds of fluxes in a heteroge- neous media, through a stochastic collocation method on a Smolyak-type sparse grid. The main aim is the quantification, using statistical moments, of the un- certainties due to random input data. Particularly, we provide a solution for the Darcy formulation for the problem depending on the pressure. We consider the case with a log-normal distributed permeability stationary field with exponential or normal covariance function, together with the case of the existence of a set of direct measures in the domain that we can use to condition the original field. At the beginning of the work, we provide a formulation of the problem depending on a finite number of random unrela- ted variables using a Karhunrn-Lo`eve expansion truncation, followed by the description of the collocation method on sparse grid. In the last part, we provide some error estimates and we show the use of the collocation method on two test cases. The results show the improvement with respect to the Monte Carlo method, according on the good quality of the errors obtained.

Questo lavoro di tesi si propone di studiare, mediante l’utilizzo di un me- todo di collocazione stocastica su di una griglia sparsa di tipo Smolyak, le tipologie di flussi che avvengono all’interno di un mezzo poroso eterogeneo. L’obiettivo principale che ci si pone `e quello di riuscire a quantificare al meglio le incertezze che si hanno nel considerare in ingresso dati aleatori, in termini di momenti statistici. In particolare si provveder`a a risolvere il problema di Darcy nella sua formulazione in pressione. Verranno presi in considerazione il caso in cui la permeabilit`a risulti essere un campo stocastico lognormale stazionario con funzione di covarianza esponenziale o gaussiana, e il caso in cui, disponendo di un set di misurazioni dirette di permeabilit`a all’interno del dominio, si voglia considerare il campo di permeabilit`a sta- zionario di partenza condizionato alle sue stesse misure. Nella parte iniziale del lavoro viene riformulato il problema in funzione di un numero finito di variabili aleatorie scorrelate tramite un troncamento dell’espansione di Karhunen-Lo`eve e viene presentato il metodo di collocazione su griglia spar- sa. Nell’ultima parte invece si forniscono le stime dell’errore ottenute e si applica il metodo presentato a due casi test. I risultati ottenuti mostrano come le tecniche utilizzate superano notevolmente quelle Monte Carlo in termini di errore commesso.