Ottimizzazione di forma per flussi viscosi tridimensionali in geometrie cardiovascolari

Shape optimization problems have become extremely popular during the last decades, mainly because of several advanced applications in physics or engineering, in which the optimal design of a particular device greatly enhances the efficiency or the mechanical behavior of a system. The goal of this Thesis is to address some analytical and numerical methods for the solution of shape optimization problems in the framework of computational fluid dynamics, dealing with three-dimensional flows (at low Reynolds numbers) modelled by steady or unsteady Stokes equations. In particular, these methods have been applied to problems arising from haemodynamics, such as the optimal design of an aorto-coronary bypass graft. From the theoretical point of view, several tools for the analysis of shape optimization problems are introduced, focusing on the regularity assumptions which ensure the well-posedness of the problem. In view of a reduction of the geometrical complexity, domain deformations are described introducing suitable identity perturbation maps; hence, the optimality conditions are derived by means of an adjoint-based procedure, exploiting the Lagrange multipliers method. Concerning the computational aspects, a numerical procedure for the discrete solution of shape optimization problems is described; moreover, a new solver has been developed extending the capabilities of the LifeV finite element library. In particular, Free Form Deformation maps have been employed, since they provide a flexible and efficient tool for representing global and smooth deformations acting on a small number of design parameters, which play the role of optimization variables. The main application in this Thesis deals with the optimal shape design of aorto-coronary bypass grafts, for which a detailed analysis and several comparisons with previous results are provided.

Nel corso degli ultimi decenni i problemi di ottimizzazione di forma hanno acquistato un'attenzione sempre crescente, soprattutto grazie alle numerose applicazioni in fisica o ingegneria nelle quali, per migliorare il comportamento di un sistema, occorre ottimizzare la forma stessa di un corpo o di un dispositivo. In questa Tesi vengono presentati metodi analitici e numerici per risolvere problemi di ottimizzazione di forma in ambito fluidodinamico, per flussi tridimensionali (a basso numero di Reynolds) descritti dalle equazioni di Stokes stazionarie e non stazionarie, con applicazione a problemi di natura emodinamica, quali ad esempio il design ottimo di un bypass aorto-coronarico. Dal punto di vista teorico, viene presentata anzitutto un'analisi astratta di buona posizione, con particolare attenzione alle ipotesi di regolarità sulle forme ammissibili. In vista di una riduzione della complessità geometrica, le deformazioni dei domini vengono descritte mediante trasformazioni di tipo perturbazione dell'identità; si ricavano poi le condizioni di ottimalità introducendo un problema aggiunto e utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Per quanto riguarda gli aspetti computazionali, vengono descritti e implementati alcuni metodi numerici per la risoluzione approssimata di problemi di ottimizzazione di forma, sviluppati estendendo la libreria LifeV. In particolare, vengono impiegate mappe parametriche di tipo Free Form Deformation: esse permettono di descrivere una vasta classe di forme ammissibili in modo computazionalmente efficiente, operando perturbazioni dell'identità mediante un numero ridotto di parametri, che assumono il ruolo di variabili di ottimizzazione. La principale applicazione discussa in questa Tesi riguarda l'ottimizzazione di forma di un bypass aorto-coronarico, della quale viene riportata una dettagliata analisi e numerosi confronti con risultati presenti in letteratura.