Reduced basis method for parametrized optimal control problems governed by PDEs

This master thesis aims at the development, analysis and computer implementation of e fficient numerical methods for the solution of optimal control problems based on parametrized partial di fferential equations. Our goal is to develop a new approach based on suitable model reduction paradigm - the reduced basis method (RB) - for the rapid and reliable solution of control problems which may occur in several engineering contexts. In particular, we develop the methodology for parametrized quadratic optimization problems with either coercive elliptic equations or Stokes equations as constraints. Firstly, we recast the optimal control problem in the framework of mixed variational problems in order to take advantage of the already developed RB theory for Stokes-type problems. Then the usual ingredients of the RB methodology are provided: a Galerkin projection onto a low-dimensional space of basis functions properly selected by an adaptive procedure; an affine parametric dependence enabling to perform competitive Offline-Online splitting in the computational procedure; an efficient and rigorous a posteriori error estimation on the state, control and adjoint variables as well as on the cost functional. The reduction scheme is applied to several numerical tests confi rming the theoretical results and demonstrating the effi ciency of the proposed technique. Moreover an application to an (idealized) inverse problem in haemodynamics is discussed, showing the versatility and potentiality of the method in tackling parametrized optimal control problems that could arise in a a broad variety of application contexts.

L'obiettivo di questa tesi e quello di sviluppare, analizzare e implementare metodi numerici e cienti per la risoluzione di problemi di controllo ottimale per equazioni diff erenziali alle derivate parziali parametrizzate. L'interesse verso questo tipo di problemi nasce in diverse aree applicative, in particolar modo in tutti i casi in cui si mira non soltanto alla simulazione numerica del sistema considerato, ma anche all'ottimizzazione e al controllo di alcune sue funzionalità in corrispondenza delle possibili diverse con figurazioni fisiche e/o geometriche del sistema stesso, identi cate da un insieme di parametri. Poiché la risoluzione numerica di un problema di controllo ottimo richiede ingenti risorse computazionali già nel caso non-parametrico, a maggior ragione, quando dobbiamo ripetere il processo di ottimizzazione in corrispondenza di diverse con figurazioni del sistema, o quando, data una certa confi gurazione, vogliamo ottenere la soluzione in tempi rapidi, lo sforzo computazionale richiesto può risultare incredibilmente elevato, e dunque spesso insostenibile. Si è voluto quindi sviluppare un nuovo approccio basato su di una opportuna tecnica di riduzione d'ordine del modello - il metodo a basi ridotte - che permetta di risolvere in maniera rapida, accurata ed a ffidabile questo tipo di problemi. Il metodo proposto permette di trattare problemi di controllo ottimale governati da equazioni ellittiche coercive e dalle equazioni di Stokes. In entrambi i casi, il problema di controllo viene innanzitutto riformulato come un opportuno problema punto-sella, in modo da poter sfruttare l'analogia con la struttura delle equazioni di Stokes parametrizzate, per le quali il metodo a basi ridotte è già stato ampiamente sviluppato. Successivamente, viene proposto uno schema a basi ridotte che consta dei seguenti ingredienti fondamentali: una proiezione di Galerkin su di uno spazio di dimensione ridotta, costituito da funzioni di base opportunamente selezionate attraverso una procedura adattiva; una scomposizione offline/online delle procedure computazionali, che permette un disaccoppiamento del problema tra la fase di generazione della base (ridotta) e la procedura di proiezione; una stima a posteriori effi ciente e rigorosa dell'errore sulle variabili di stato, controllo e stato aggiunto, così come dell'errore sul funzionale costo. L'approccio a basi ridotte sviluppato viene poi applicato ad alcuni esempi numerici che confermano i risultati teorici dimostrati e ne evidenziano l'effi cienza computazionale. Infine viene presentata una possibile applicazione ad un problema inverso in ambito emodinamico, mostrando la versatilità e le potenzialità del metodo nell'affrontare problemi di controllo ottimale parametrizzati riscontrabili in numerosi contesti applicativi.