Photonic bands of dispersive periodic structures : numerical implementation of auxiliary field formulation

Electromagnetic metamaterials are artificial structures, often periodic, that interact in peculiar ways with the electromagnetic radiation. The investigation of these materials often need to be carried on numerically due to complex geometries involved. A determination of the electromagnetic properties of such metamaterials requires the knowledge of their band structure. A number of methods, including the Finite-Difference Time-Domain (FDTD) method, have been developed in the past years to this purpose. However, a frequency-domain simulation of metamaterials is still a challenging task due to the metallic dispersive components. In this work, starting from the recently proposed auxiliary fields formulation, we develope two numerical methods, based respectively on the Finite-Difference Method (FDM) and the Finite-Element Method (FEM), for computing eigenfrequencies and eigenmodes of periodic structures containing metallic components described by the Drude model. This work spans all the stages of the numerical implementation, from the analytical formulation of the lossless Drude problem, through the numerical discretization using FDM or FEM, to the matrix computation techniques such as eigensolvers and preconditioning. Finally, we apply the methods developed to benchmark structures to determine their performances; the results are compared to those obtained with other numerical methods. It is found that the FDM approach tends to introduce strongly localized ``fictitious'' surface modes that affect the physical modes and pollute the band diagram. The FEM implementation does not present this issue. Both methods can compute a number of eigenmodes limited by the numerical resolution; the higher order surface modes always suffer from a numerical error owing to the limited spatial discretization and the element shape. The high order SPP modes populate a frequency range above the expected frequency, and we determined that this issue cannot be solved by increasing the resolution. We expect the FEM implementation of the formulation can be a versatile tool for the design and investigation of periodic structures containing metallic components with any complex geometry.

I Metamateriali Elettromagnetici sono strutture artificiali, spesso periodiche, che interagiscono con la radiazione elettromagnetica in modo peculiare. Lo studio di questi materiali deve essere effettuato per via numerica a causa della complessità delle geometrie in questione. Al fine di determinare le proprietà elettromagnetiche di questi materiali è necessaria la conoscenza della loro struttura a bande fotoniche; tuttavia, la simulazione nel dominio delle frequenze di tali materiali è tuttora complicata a causa dei componenti dispersivi che contengono. Nel presente lavoro, utilizzando la formulazione con campi ausiliari, vengono sviluppati due metodi numerici, basati rispettivamente sui Metodi delle Differenze Finite (FDM) e degli Elementi Finiti (FEM), in grado di calcolare le autofrequenze ed i modi del campo elettromagnetico di strutture periodiche contenenti metalli descritti dal modello di Drude. Nel corso di questo lavoro vengono seguite tutte le fasi dell'implementazione numerica, a partire dalla formulazione analitica del problema per il modello di Drude senza perdite, attraverso la discretizzazione usando FDM ed FEM, fino alla scelta degli algoritmi per il computo degli autovalori e per il precondizionamento. Infine, i metodi sviluppati vengono applicati a strutture di prova per determinarne le potenzialità ed i risultati sono confrontati con quelli ottenuti mediante altri metodi numerici. Dalla nostra analisi è emerso che l'approccio con FDM tende ad introdurre dei modi "fittizi" fortemente localizzati che influenzano i modi fisici ed alterano il diagramma a bande. Questo problema non è presente con l'implementazione FEM. Ambedue i metodi sono in grado di calcolare un numero di autofrequenze limitato dalla risoluzione numerica; i modi superficiali di ordine superiore sono affetti da errori dipendenti dalla discretizzazione spaziale e dalla forma degli elementi. Dalle nostre simulazioni abbiamo concluso che questo problema non può essere eliminato solo aumentando la risoluzione. In conclusione, l'implementazione FEM può essere uno strumento versatile per la progettazione e lo studio di strutture metalliche periodiche con geometrie complesse.