Two-parameter bifurcations in smooth and piecewise-smooth dynamical systems : new theoretical results and applications

Nonlinear systems of ODEs depending on parameters are ubiquitous in all fields of science. The discussion of the impact of parameters on the asymptotic behavior of the dynamical system is typically the major concern. This discussion requires the determination of the so-called bifurcations, namely the parameter combinations at which some degeneracies create a structural change in the dynamics of the system. The computation of the bifurcations can be rarely performed analytically, so that one must rely upon numerical techniques. The aim of this thesis is to improve the available techniques and their software implementations and to extend them to cases which have not yet been covered: particular relevance is given to bifurcations (in smooth and non smooth systems) concerning multiple degeneracies, the so-called codimension-2 bifurcaiton points. Those points assume a strategic importance in the bifurcation analysis, since more bifurcation curves depart from them, so that they become the organizing centers of the bifurcation diagrams. Most of the identified theoretical results are implemented in MatCont, a standard software used for the bifurcation analysis, and are applied to various significant problems in engineering, biology and sociology.

I sistemi di ODE nonlineari che dipendono dai parametri sono presenti in ogni campo della scienza. L'analisi dell'impatto dei parametri syl comportamento asintotico del sistema è tipicamente una delle cose di maggior interesse. Quest'analisi richiede di determinare le cosidette biforcazioni, ovvero i valori dei parametri per cui qualche non genericità causa una cambiamento strutturale della dinamica del sistema. La ricerca dei punti di biforcazione può essere fatta in maniera analitica solo raramente, quindi quest'analisi si basa principalmente su metodi numerici. In questa tesi di dottorato sono state migliorate alcune tecniche per performare quest'analisi, ne sono state create di nuove. Tutti i risultati teorici ottenuti si accompagnano ad un implementazione software (tipicamente implementata in MatCont, un software standard per l'analisi di biforcazione). Particolare importanza è stata data ai punti di biforcazione di codimensione 2, in cui più degenerazioni avvengono contemporaneamente. Questi punti assumono un ruolo strategico nell'analisi di biforcazione, poichè in essi passano più curve di biforcazione: per questo motivo sono detti centri organizzatori del diagramma di biforcazione. Lo strumento dell'analisi di biforcazione a due parametri è infine applicato a diversi problemi provenienti dal mondo dell'ingegneria, della biologia e della sociologia.