This thesis can be inserted in the framework of Reduced Order Modelling (ROM) techniques; more precisely, it focuses on the Reduced Basis method for a rapid and reliable solution of parametrized partial differential equations. Even though the pioneering works on the Reduced Basis method date back to the seventies, during the last decade the method has been deeply analyzed and developed to ensure an efficient and rigorous approximation of the solution for a wide class of partial differential equations. Moving from a sound review of the available literature, the present work is essentially centered on geometric reduction strategies to deal with differential equations defined on parametrized domains and on the extension of the Reduced Basis methodology to nonlinear scalar conservation laws. The first issue has been widely analyzed in recent years, whereas the examples of applications of the Reduced Basis method to nonlinear hyperbolic problems are very few: as we will explain in this thesis, the typical structure of the solutions to these equations introduces a number of additional criticalities that require a substantial modification to some steps of the standard methodology. In this thesis, a new geometric reduction technique, particularly suited to the treatment of roto-translations of the domain boundaries and a reduced order strategy to deal with nonlinear conservation laws in the presence of shocks are proposed and motivated both from a theoretical and computational point of view. Finally, some suggestions for future developments concerning a possible extension of the proposed methodology to more general problems are offered.

Questo lavoro di tesi si inserisce nell'ambito delle tecniche per la Riduzione di Modello (Reduced Order Modelling) e, più in particolare, si focalizza sul metodo delle Basi Ridotte per la risoluzione di problemi differenziali dipendenti da un insieme di parametri. Sebbene i primi lavori sul metodo delle Basi Ridotte risalgano agli anni Settanta, nell'ultimo decennio il metodo è stato oggetto di notevoli sviluppi che lo hanno portato ad essere in grado di garantire un'approssimazione efficiente e rigorosa di una vasta gamma di problemi differenziali. Partendo da un'attenta analisi della letteratura più recente, il presente lavoro è incentrato da un lato sulle strategie di riduzione geometrica nell'ambito dell'approssimazione di equazioni differenziali definite su domini parametrici; dall'altro sull'estensione del metodo delle Basi Ridotte a leggi di conservazione scalari non lineari. Se la prima tematica è stata largamente analizzata negli ultimi anni, poche sono le applicazioni del metodo della Basi Ridotte a problemi iperbolici non lineari: come verrà ampiamente motivato in questa tesi, la struttura intrinseca delle soluzioni di tali equazioni introduce difficoltà aggiuntive che richiedono un ripensamento sostanziale di alcuni passi del metodo standard. In questa tesi vengono proposte una nuova tecnica di riduzione geometrica pensata specificatamente per gestire il caso di roto-traslazioni di componenti del bordo del dominio ed una strategia di riduzione di modello per leggi di conservazione in presenza di shock; queste procedure sono state analizzate sia da un punto di vista teorico che da un punto di vista computazionale. Nella parte finale della tesi, sono discussi alcuni possibili sviluppi futuri concernenti l'estensione del metodo a problemi più generali.

Basi ridotte : mappe transfinite per domini parametrici e leggi di conservazione

TADDEI, TOMMASO
2011/2012

Abstract

This thesis can be inserted in the framework of Reduced Order Modelling (ROM) techniques; more precisely, it focuses on the Reduced Basis method for a rapid and reliable solution of parametrized partial differential equations. Even though the pioneering works on the Reduced Basis method date back to the seventies, during the last decade the method has been deeply analyzed and developed to ensure an efficient and rigorous approximation of the solution for a wide class of partial differential equations. Moving from a sound review of the available literature, the present work is essentially centered on geometric reduction strategies to deal with differential equations defined on parametrized domains and on the extension of the Reduced Basis methodology to nonlinear scalar conservation laws. The first issue has been widely analyzed in recent years, whereas the examples of applications of the Reduced Basis method to nonlinear hyperbolic problems are very few: as we will explain in this thesis, the typical structure of the solutions to these equations introduces a number of additional criticalities that require a substantial modification to some steps of the standard methodology. In this thesis, a new geometric reduction technique, particularly suited to the treatment of roto-translations of the domain boundaries and a reduced order strategy to deal with nonlinear conservation laws in the presence of shocks are proposed and motivated both from a theoretical and computational point of view. Finally, some suggestions for future developments concerning a possible extension of the proposed methodology to more general problems are offered.
SALSA, SANDRO
BERRONE, STEFANO
ING II - Scuola di Ingegneria dei Sistemi
20-dic-2012
2011/2012
Questo lavoro di tesi si inserisce nell'ambito delle tecniche per la Riduzione di Modello (Reduced Order Modelling) e, più in particolare, si focalizza sul metodo delle Basi Ridotte per la risoluzione di problemi differenziali dipendenti da un insieme di parametri. Sebbene i primi lavori sul metodo delle Basi Ridotte risalgano agli anni Settanta, nell'ultimo decennio il metodo è stato oggetto di notevoli sviluppi che lo hanno portato ad essere in grado di garantire un'approssimazione efficiente e rigorosa di una vasta gamma di problemi differenziali. Partendo da un'attenta analisi della letteratura più recente, il presente lavoro è incentrato da un lato sulle strategie di riduzione geometrica nell'ambito dell'approssimazione di equazioni differenziali definite su domini parametrici; dall'altro sull'estensione del metodo delle Basi Ridotte a leggi di conservazione scalari non lineari. Se la prima tematica è stata largamente analizzata negli ultimi anni, poche sono le applicazioni del metodo della Basi Ridotte a problemi iperbolici non lineari: come verrà ampiamente motivato in questa tesi, la struttura intrinseca delle soluzioni di tali equazioni introduce difficoltà aggiuntive che richiedono un ripensamento sostanziale di alcuni passi del metodo standard. In questa tesi vengono proposte una nuova tecnica di riduzione geometrica pensata specificatamente per gestire il caso di roto-traslazioni di componenti del bordo del dominio ed una strategia di riduzione di modello per leggi di conservazione in presenza di shock; queste procedure sono state analizzate sia da un punto di vista teorico che da un punto di vista computazionale. Nella parte finale della tesi, sono discussi alcuni possibili sviluppi futuri concernenti l'estensione del metodo a problemi più generali.
Tesi di laurea Magistrale
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