Covariance models for geodetic applications of collocation

GOCE is most recent dedicated space gravity mission. It is one of the core mission of the European Space Agency (ESA) Living Planet Programme and it was launched on March 2009 with the aim of measuring the global gravity field of the Earth with un-precedent accuracy. Main products of GOCE are gravity gradients (T_ij with i and j such to complete the tensor) that allow obtaining global models up to degree 220-240, thus estimating properly and homogeneously the low-medium frequency spectrum of the gravity field. Main gravimetric structures of the Earth are detected but for local applications higher frequencies of the gravitational signal have to be solved. Other kind of observations are available, having different features, frequency content, spatial coverage and resolution. Gravity anomalies (∆g) are collected during ground measure campaigns or by shipborne and aero-gravimetry and they cover the higher degrees of the gravity spectrum and they are very useful in local applications. However the spatial resolution of gravity is poor in certain areas, due to operative difficulties (mountains, forests, deserts, etc.). Another important data set is radar-altimetry; the strategy of this technique is very simple and allow to measure directly the Sea Surface Height that is very close to the geoid undulation (N). This kind of data are very dense but they cover only oceans and sea areas. ∆g, N and T_rr are linear(ized) functional of the anomalous gravity potential (T). Due to this, integration of these different kind of data for local modeling of the gravity field can be performed by least squares collocation (LSC). Idea of spatial correlation, expressed by covariance functions plays fundamental role in LSC and the nodal problem of this approach is the correct modeling of the empirical covariance functions of the observations, particularly when different functional of T are used and combined. In this thesis the problem of modeling covariance functions has been dealt with an innovative methodology based on the simplex algorithm. The well known analytical models of covariance for the anomalous potential and their linear functional require to estimate a set of non-negative coefficients able to give a model function that suitably fit the empirical values. The non-standard use of the simplex method consists in defining constraints on model covariance function in order to obtain better fit on the correspondent empirical ones in respect to usual methodologies of covariance modeling. The results obtained during the test phase of this new methodology of modeling covariance function for local applications show great improvements respect to the software packages available until now. A new procedure for applying LSC with the model covariance functions estimated with the simplex method has been devised. This procedure has been tested in connection with Remove-Restore technique and local gravity field modeling tests have been performed. To speed up the computation, in the new implemented LSC program, a “windowed solution” has been applied. In this way, for each computation point there is a down sampling process such as only observation points with significant correlation contribute to the prediction process. This down sampling is based on the correlation length highlighted during the covariance modeling step. During the assestment of this innovative methodology many tests have been done. Results presented are referred on tests performed in the center Mediterranean area, combining in different way observations of ∆g_FA on ground, ∆g_FA by aerogravimetry, radar altimetry observations, N values obtained by GPS-leveling, T_rr level 2 GOCE data.

GOCE è la più recente missione spaziale ESA dedicata allo studio del campo della. Lanciata nel marzo 2009, l'obiettivo è quello di misurare il campo gravitazionale globale con precisione senza precedenti. Dalla misura del tensore gravitazionale da parte di GOCE si prevede di riuscire a stimare modelli di gravità con risoluzione fino a grado 220-240 e quindi modellizzare correttamente le frequenze medio-basse del campo di gravità. Per applicazioni locali però questo può non bastare. E’ altrettanto vero che oggi sono disponibili in quantità anche altri tipi di misure, ciascuna con caratteristiche diverse, contenuto in frequenza, copertura e risoluzione spaziale. I dati di gravità vengono raccolti durante campagne di misura a terra o a bordo di navi e aerei e coprono i gradi più alti dello spettro gravità e sono molto utili in applicazioni locali. Generalmente questi dati vengono poi trattati come anomalie di gravità Δg. Tuttavia la risoluzione spaziale di queste osservazioni è spesso deficitaria in alcune zone, a causa delle difficoltà operative che si possono riscontare in campagna (montagne, foreste, deserti, ecc.). Un’altra metodologia di misura da cui ottenere informazioni sul campo di gravità è la radar-altimetria. Con questa tecnica di misura si misura direttamente l'altezza della superficie del mare che a sua volta è una delle superfici equipotenziali del campo di gravità, in particolare il geoide. In questo caso la densità spaziale di raccolta dei dati è molto denso, ma copre solo gli oceani e le aree marine in genere. Anomalie di gravità Δg, ondulazione del geoide N ed uno dei gradienti di gravità misurati da GOCE, Trr, sono tutti funzionali lineari (o linearizzati) del potenziale anomalo T. Grazie a questo particolare, la loro integrazione al fine di una migliore modellizzazione del campo locale può essere ottenuta tramite la teoria della Collocazione, che sfrutta il concetto di correlazione spaziale, espressa in termini di funzione di covarianza. Il problema nodale di questo approccio è la corretta modellizzazione delle covarianze empiriche espresse dai dati, in particolar modo nel caso di combinazione di dati di diversa natura. In questa tesi il problema della modellizzazione delle funzioni di è stato trattato con una metodologia innovativa basata sul metodo del simplesso. I noti modelli analitici di covarianza del potenziale anomalo e dei suoi funzionali lineari richiedono per poter essere applicati correttamente di stimare un insieme di coefficienti che per loro natura devono essere non-negativi, e con il metodo del simplesso questo vincolo è stato risolto. I risultati ottenuti durante la fase di test di questa nuova metodologia hanno mostrato miglioramenti nei confronti di quanto ottenibile con gli usuali pacchetti software disponibili utilizzati per problemi di questo tipo. Ai fini della stima locale del campo gravitazionale, questa metodologia è inserita nell’ambito di una procedura più ampia. Questa procedura è stata implementata in linguaggio Fortran95 ed combina la tecnica Remove-Restore e la Collocazione ai Minimi. Inoltre è stata adottata una soluzione “a finestra” nell’ applicare la collocazione, basato sulla lunghezza di correlazione evidenziata durante la fase di modellizzazione delle funzioni di covarianza. Come anticipato, i risultati dei test eseguiti mostrano l’efficacia della soluzione adottata e lasciano intendere interessanti sviluppi futuri.