Compliance optimization for thin elastic structures

The main topic of the Thesis is optimization of the compliance of thin elastic structures. The problem consists in finding the most robust configurations, when an infinitesimal amount of elastic material is subjected to a fixed force, and contained within a region having infinitesimal volume. The resistence to a load can be measured by computing a shape functional, the compliance, in which the shape represents the volume occupied by the elastic material. Thus we are led to study a minimization problem of a shape functional, under suitable constraints. In particular, we treat the case in which the design region is a thin rod, represented by a cylinder with infinitesimal cross section. The study finds its motivation in engineering problems: thin structures are very convenient to be used in practical applications. The approach we adopt draws inspiration from some recent works by I. Fragalà, G. Bouchitté and P. Seppecher, in which the authors deal with the case of thin elastic plates [G. Bouchitté, I. Fragalà, P. Seppecher: Structural optimization of thin plates: the three dimensional approach., Arch. Rat. Mech. Anal. (2011)]. We point out that these two problems are not merely technical variants one of the other, due to the substantial difference between the limit passages 3d-1d and 3d-2d, namely from 3 to 1 and from 3 to 2 dimensions. The study of optimal configurations led us to face another interesting variational problem: actually to establish whether homogenization phenomena occur in bars in pure torsion regime turns out to be equivalent to solve a nonstandard free boundary problem in the plane. This new problem is very challenging and, besides the link with torsion rods, it has mathematical interest in itself. One of the tools which can be employed to attack the problem is shape derivative for minima of integral functionals. The theory of shape derivatives is a widely studied topic (see e.g. the monograph by A. Henrot and M.Pierre: Variations et Optimisation de Formes. Une Analyse Géométrique, Springer Berlin (2005), and the references therein), but the approach we propose in new and relies on assumptions which are weaker that the classical ones.

L'argomento principale della Tesi è l'ottimizzazione della compliance di strutture elastiche sottili. Il problema consiste nel determinare le configurazioni più resistenti, quando una quantità infinitesimale di materiale elastico, sottoposta ad una forza fissata, viene confinata in un intorno sottile di un piano o di una retta. La resistenza al carico può essere misurata valutando un funzionale di forma, la compliance, sulla configurazione del materiale elastico. In particolare, trattiamo il caso in cui la regione di disegno è un filo sottile, rappresentato da un cilindro con sezione trasversale infinitesima. Lo studio è motivato da problemi di carattere ingegneristico: la facilità di fabbricazione e trasporto legate al loro ridotto peso, rendono le strutture sottili molto convenienti per le applicazioni. L'approccio che adottiamo trae ispirazione da alcuni recenti lavori in collaborazione tra G. Bouchitté, I. Fragalà e P. Seppecher, in cui gli autori affrontano il caso di piastre sottili [G. Bouchitté, I. Fragalà, P. Seppecher: Structural optimization of thin plates: the three dimensional approach., Arch. Rat. Mech. Anal. (2011)]. Il caso di sbarre sottili non si presenta affatto come una variante tecnica del precedente, a causa della differenza sostanziale nei passaggi al limite 3d-1d e 3d-2d, cioè da 3 a 1 e da 3 a 2 dimensioni. Lo studio di configurazioni ottimali ci ha condotto ad affrontare un altro interessante problema variazionale: in regime di pura torsione, stabilire se si verifichino o meno fenomeni di omogeneizzazione nei fili sottili risulta essere equivalente a risolvere un problema non standard di frontiera libera nel piano. Oltre al legame con il problema di ottimizzazione della compliance, questo problema variazionale ha un interesse matematico di per sé. Uno degli strumenti che possono essere usati per affrontare il problema è la teoria delle derivate di forma per minimi di funzionali integrali. La teoria delle derivate di forma è un campo molto studiato (vedi e.g. la monografia di A. Henrot e M.Pierre: Variations et Optimisation de Formes. Une Analyse Géométrique, Springer Berlin (2005), e le riferimenti ivi contenute), ma l'approccio che proponiamo è nuovo e si basa su ipotesi più deboli di quelle classiche.