Polynomial approximation by means of the random discrete L2 projection and application to inverse problems for PDEs with stochastic data

The main topic of this thesis concerns the polynomial approximation of aleatory functions by means of the random discrete L2 projection, and its application to inverse problems for Partial Differential Equations (PDEs) with stochastic data. The motivations come from the parametric approximation of the solution to partial differential models and its application to Uncertainty Quantification in engineering. The thesis is arranged in two parts, with an introductory chapter which contains an overview of modern techniques for polynomial approximation of functions depending on random variables. In the former part, from Chapter 1 to Chapter 4, the focus is on the theoretical analysis of the random discrete L2 projection applied to solve the so-called forward problem, e.g. to approximate the moments of an aleatory function given its observations, or to compute the solution to a computational model with stochastic coefficients given initial and boundary data. In Chapter 1, the discrete L2 projection on polynomial spaces with random evaluations is presented, as a tool to accurately approximate a multivariate function depending on a random variable distributed according to a given probability density. The stability and optimality of the approximation error evaluated in the L2 weighted norm are addressed, under the assumption that the density is bounded away from zero. In this analysis, the main result achieved is a univariate probabilistic optimal convergence estimate with the uniform distribution, provided the number of evaluations scales as the square of the dimension of the polynomial space. Several numerical examples confirm the theoretical results, with aleatory functions defined on parameter spaces featuring low to moderately high dimension. The role of smoothness of the target function has been investigated as well. In Chapter 2 the proof of the stability and optimality in expectation of the random discrete L2 projection is extended to any monotone set of multi-indices identifying the polynomial space, and to any dimension of the parameter space. For a specific class of PDE models, that includes the elliptic model and the linear elasticity model, an exponential convergence estimate w.r.t. the number of sampling points has been proved, with an a priori optimal choice of the polynomial space. This estimate clarifies the dependence of the convergence rate on the dimension of the parameter space, and establishes a relation between the convergence rate of the random discrete projection and the convergence rate of the classical Stochastic Galerkin method. Afterwards, in Chapter 3 the analysis of the random L2 projection is extended to more general densities, focusing on how the choice of the density affects the optimal convergence rate. It is shown that the assumption on the density being bounded away from zero is strictly required in the proof of the optimal convergence theorem. The beta family, which includes the uniform and Chebyshev densities, is investigated. Some tests with the Gaussian and gamma densities have been performed. The methodology based on the random L2 projection is then applied in Chapter 4 to approximate Quantities of Interest related to the solution to PDE models with stochastic data. Several examples are presented, featuring the Darcy model with values of the coefficient and geometry of the inclusions governed by random variables. Hence, some examples with the linear elasticity model and with Navier-Stokes equations, both with stochastic data, are addressed. In the latter part of the thesis, composed of Chapter 5 and Chapter 6, the methodology previously developed for the forward problem is applied to inverse problems for PDEs with stochastic coefficients. In Chapter 5 the problem of Electrical Impedance Tomography (EIT) is introduced. The goal is to detect the presence and location of inclusions in the domain, when observing the solution to the associated PDE model only on the boundary of the domain. A numerical scheme to solve the dipole-like Neumann problem with inhomogeneous coefficient is proposed. Next, this scheme is employed in the Factorization Method in the framework of EIT, first in the case of inhomogeneous background, and then in the case of piecewise constant background, with values in each region affected by uncertainty. Several variants of the Factorization Method are proposed, and numerical results showing their effectiveness are presented. Lastly, in Chapter 6 the variants of the Factorization Method proposed in the previous chapter are accelerated by means of the random discrete L2 projection, exploiting the techniques that have been presented in the first part of the thesis.

Questa tesi verte sull’approssimazione polinomiale di funzioni aleatorie tramite proiezione L2 discreta con valutazioni casuali, con applicazione a problemi inversi per Equazioni alle Derivate Parziali (EDP) con dati stocastici. Possibili utilizzi di questa tecnica di approssimazione consistono nella soluzione parametrica di modelli di EDP nell’ambito della Quantificazione dell’Incertezza. La tesi è strutturata in due parti, con un capitolo introduttivo che contiene una panoramica sulle moderne tecniche di approssimazione polinomiale di funzioni aleatorie. Nella prima parte, dal Capitolo 1 al Capitolo 4, viene presentata l’analisi teorica della proiezione L2 discreta e la sua applicazione per risolvere problemi diretti, e.g. per approssimare i momenti di una funzione aleatoria a partire da sue osservazioni puntuali, o per calcolare la soluzione numerica di modelli computazionali con coefficienti stocastici. Nel Capitolo 1 introduciamo la proiezione L2 discreta su spazi polinomiali come strumento per approssimare accuratamente una funzione di una variabile aleatoria multidimensionale distribuita con densità nota. Analizziamo la stabilità e l’ottimalità dell’errore di approssimazione valutato nella norma L2 pesata rispetto alla densità, nell’ipotesi che la densità sia strettamente positiva. Il risultato principale ottenuto è una stima di convergenza ottimale in probabilità nel caso di densità uniforme monodimensionale, a condizione che il numero di valutazioni sia proporzionale al quadrato della dimensione dello spazio polinomiale. I risultati teorici sono confermati da numerosi esempi numerici, con funzioni aleatorie di variabili univariate e multivariate con dimensione del supporto moderatamente alta. Il ruolo svolto dalla regolarità della funzione è stato considerato. Nel Capitolo 2 estendiamo la dimostrazione della stabilità e ottimalità in valore atteso della proiezione L2 discreta al caso di insiemi di multi-indici monotoni, e per ogni valore della dimensione dello spazio dei parametri. Per una classe specifica di modelli di EDP, che include il modello ellittico ed il modello di elasticità lineare, dimostriamo una stima di convergenza esponenziale rispetto al numero di valutazioni della funzione. Questa stima chiarisce la dipendenza del tasso di convergenza dalla dimensione dello spazio dei parametri, e stabilisce una relazione tra il tasso di convergenza della proiezione discreta ed il classico metodo di Galerkin Stocastico. In seguito, nel Capitolo 3 estendiamo l’analisi della proiezione L2 discreta a densità di probabilità più generali, ed esaminiamo la dipendenza del tasso di convergenza ottimale dalla particolare densità scelta. Consideriamo prima la famiglia di densità beta, che contiene in particolare la densità uniforme e le densità di Chebyshev, e successivamente le densità Gaussiana e gamma. Inoltre, mostriamo che l’ipotesi che la densità di probabilità sia strettamente positiva è strettamente necessaria nella dimostrazione del teorema di convergenza ottimale. La tecnica di approssimazione basata sulla proiezione L2 discreta viene poi applicata nel Capitolo 4 per approssimare Quantità di Interesse dipendenti dalla soluzione di modelli di EDP con dati stocastici. Presentiamo diversi esempi relativi al modello di Darcy con coefficiente di diffusione e geometria delle inclusioni descritti per mezzo di variabili aleatorie, ed alcuni esempi con il modello di elasticità lineare e le equazioni di Navier-Stokes, entrambi con dati stocastici. Nella seconda parte della tesi, formata dai Capitoli 5 e 6, applichiamo a problemi inversi per EDP con coefficienti stocastici le tecniche di approssimazione sviluppate nella prima parte. Nel Capitolo 5 introduciamo il problema della Tomografia ad Impedenza Elettrica, in cui l’obiettivo è determinare l’eventuale presenza e posizione di inclusioni nel dominio, osservando la soluzione dell’EDP associata solo sul bordo del dominio. Costruiamo uno schema numerico per risolvere il problema di Neumann singolare con coefficiente di diffusione spazialmente inomogeneo. Successivamente applichiamo questo schema al Metodo di Fattorizzazione nell’ambito della Tomografia ad Impedenza Elettrica, prima nel caso in cui il coefficiente di diffusione sia deterministico ma spazialmente inomogeneo, e poi nel caso il coefficiente sia costante a tratti con valori in ogni regione affetti da incertezza. Proponiamo diverse varianti del Metodo di Fattorizzazione, e ne mostriamo la loro efficacia tramite alcuni esempi numerici. Infine, nel Capitolo 6 le varianti del Metodo di Fattorizzazione proposte nel capitolo precedente vengono accelerate per mezzo della proiezione L2 discreta, utilizzando le tecniche di approssimazione sviluppate nella prima parte della tesi.