Nonlinear estimation and filtering for space applications

The problem of nonlinear uncertainty propagation and filtering represents a crucial issue in celestial mechanics since all practical systems - from vehicle navigation to orbit determination or target tracking - involve nonlinearities of one kind or another. Nonlinear uncertainty propagation consists in studying how the statistics of an initial state that undergoes a nonlinear transformation can be computed and described, whereas nonlinear estimation consists in modeling the uncertainty about the world and the outcomes of interest by incorporating prior knowledge and observational evidence. This thesis addresses the problem of nonlinear uncertainty propagation and estimation in celestial mechanics. In particular, due to worldwide increasing interest in autonomous navigation systems, great attention is paid to the computational requirements of the proposed algorithms. At this purpose, differential algebraic techniques are proposed as a valuable tool to perform accurate trajectory estimation in a reduced lapse of time. Working in the differential algebra framework, in fact, allows us to consistently reduce the computational effort of standard methods without loosing accuracy. An introduction to the main differential algebraic structures used to develop the proposed methods is provided in the first part of the work. In this thesis three main topics are treated: preliminary orbit determination, nonlinear mapping of uncertainties, and nonlinear filtering. First, we address the problem of preliminary orbit determination. In particular, we analyze a novel method based on Taylor differential algebra for solving angles-only preliminary orbit determination problems and analytically mapping the uncertainties from the observations to the phase space. The proposed method can be used to recover newly discovered objects or, in space navigation, to compute the initial conditions and the related error statistics for any ground-based/on-board filtering algorithm. Secondly, the problem of nonlinear mapping of uncertainties is studied. In particular, the problem is addressed not only by computing the estimate of the transformed mean and covariance, but also of the higher order cumulants to obtain an accurate finite-dimensional representation of the predicted state probability density function. The proposed method enables a general approach to uncertainty propagation that reduces the computational requirements of some popular techniques such as higher order Taylor methods and Monte Carlo simulations. The developed method is applied on typical problems in celestial mechanics, such as the two-body problem, and its general feature is also demonstrated by presenting long-term integrations in complex dynamical systems, such as the n-body problem or the simplified general perturbation model. The nonlinear estimation and filtering is also a main subject of the work. In particular, it is demonstrated that working in the differential algebra framework improves the performance of well known filters such as higher-order and Monte Carlo-based filtering techniques by reducing their computational requirements. At this purpose, in the thesis we discuss and implement two novel differential algebra-based nonlinear estimation algorithms derived from standard higher-order filters. The structure of these filters eliminates the need to calculate the higher-order tensors at each time step by solving a complex system of augmented ordinary differential equations and therefore making the differential algebra approach more convenient than the variational one. We also demonstrate that the distribution of the state can be left unconstrained if we always estimate the state at a fixed epoch time and calculate the nonlinear map to transport it to any other epoch with the differential algebra framework. The design and implementation in a differential algebra framework of two Monte Carlo-based filtering techniques is also discussed. In particular, we show that differential algebra can enhance and speed up the approach of classical Monte Carlo simulations by replacing thousands of integrations with fast polynomial evaluations. Finally, we address the problem of near-Earth objects orbit determination. More in detail, we present a software that couples preliminary orbit determination with the proposed differential algebra-based uncertainty propagation and nonlinear filtering methods. In particular, since nonlinear filters can provide better accuracy than the linearized solution, the presented software is proposed as a possible alternative to the least square method that, at the present time, is widely used to refine the preliminary orbit determination solution. The application field of the techniques discussed in this thesis is not restrained to space and celestial mechanics applications, but can be extended to a more general framework. Whenever we have to deal with nonlinear uncertainty propagation and state estimation (such as in robotics, for instance), the proposed methods and the related considerations remain valid.

Il problema della propagazione delle incertezze e del filtraggio nonlineare è di cruciale interesse nell’ambito della meccanica celeste. Infatti, la maggior parte dei sistemi aventi utilità pratica - dalla navigazione alla determinazione orbitale o al monitoraggio di oggetti o veicoli – coinvolge non linearità di qualche tipo. La propagazione nonlineare delle incertezze consiste nello studio di come calcolare e descrivere la statistica di uno stato iniziale trasformato attraverso una generica trasformazione nonlineare. Il filtraggio e la stima nonlineare invece consistono nel modellare l'incertezza riguardo al mondo e alle grandezze d’interesse, integrando conoscenze del fenomeno fisico con evidenze osservative. Questa tesi affronta il problema della propagazione delle incertezze e del filtraggio nonlineare applicati a problemi tipici della meccanica celeste. Inoltre, poiché negli ultimi anni si è registrato un notevole interesse verso i sistemi di navigazione autonoma, all’interno di questo lavoro è stata rivolta particolare attenzione ai requisiti e al costo computazionale degli algoritmi e delle soluzioni proposte. In particolare, si è scelto di lavorare nell’ambito dell’algebra differenziale al fine di ottenere strumenti che fossero in grado di fornire precise stime dello stato del veicolo in tempi ridotti. L’algebra differenziale, infatti, consente di ridurre in modo considerevole lo sforzo computazionale dei metodi standard senza perdere accuratezza. Tre sono gli argomenti principali del lavoro: la determinazione preliminare dell’orbita, la propagazione nonlineare delle incertezze e il filtraggio nonlineare. In primo luogo si affronta il problema della determinazione preliminare dell’orbita. In particolare, si analizza un nuovo metodo basato sull’algebra differenziale per la determinazione preliminare dell’orbita a partire da misure angolari; attraverso tale metodo si è in grado di mappare in modo analitico le incertezze dallo spazio delle misure a quello delle fasi. Il metodo proposto può essere impiegato per recuperare la posizione di oggetti celesti o, nell’ambito della navigazione spaziale, per calcolare le condizioni iniziali e la statistica dell’errore di stima per algoritmi di filtraggio impiegabili in sistemi di terra o di bordo. In secondo luogo, si affronta il problema della propagazione nonlineare delle incertezze. Più in dettaglio, tale problema è trattato non solo calcolando la stima di media e covarianza propagate, ma calcolando anche i momenti di ordine superiore al fine di ottenere una rappresentazione finita e accurata della funzione di densità di probabilità dello stato predetto. Il metodo proposto consiste in un approccio molto generale che consente di ridurre il costo computazionale di alcune tecniche note, quali i metodi basati su espansioni di Taylor di ordine superiore o i metodi Monte Carlo. L’approccio proposto è applicato a problemi tipici della meccanica celeste, quali il problema dei due corpi, mentre la sua flessibilità è dimostrata considerando integrazioni su lungo periodo in sistemi dinamici complessi, come il problema dei n corpi o il modello di perturbazioni generale semplificato. Il problema del filtraggio e della ricostruzione dello stato in ambito nonlineare rappresenta un altro argomento principale del lavoro. In particolare, si dimostra come l’impiego di metodi basati sull’algebra differenziale possa migliorare le prestazioni di filtri come i filtri di ordine superiore o i filtri basati su tecniche Monte Carlo riducendone il costo computazionale di diversi ordini di grandezza. A questo proposito, sono stati sviluppati due algoritmi di ricostruzione dello stato basati sull’algebra differenziale e progettati a partire dalla struttura dei classici filtri basati su espansioni in serie di Taylor. La struttura di questi filtri elimina la necessità di calcolare ad ogni passo iterativo i cosiddetti tensori di ordine superiore, rendendo l’approccio proposto più conveniente in termini di costo computazionale rispetto al classico approccio variazionale. Si dimostra inoltre come sia possibile non imporre vincoli sulla forma della distribuzione dello stato qualora la stima dello stato stesso sia sempre riferita al medesimo istante di tempo, definibile in modo arbitrario. Attraverso l’algebra differenziale è poi possibile calcolare la mappa nonlineare in grado di trasportare lo stato dal tempo di riferimento a un generico istante futuro o passato. All’interno della tesi, si discutono anche il progetto e l’implementazione nell’ambito dell’algebra differenziale di due tecniche di filtraggio basate sull’approccio Monte Carlo. In particolare, si dimostra come, anche in quest’ambito, l’algebra differenziale possa migliorare le prestazioni di filtri classici, sostituendo migliaia di integrazioni con semplici valutazioni di polinomi. Infine, si mostra come il problema della determinazione orbitale di asteroidi orbitanti nelle vicinanze della Terra possa essere visto come un caso applicativo di tutte le tecniche presentate in precedenza. Il campo applicativo dei metodi discussi in questo lavoro di tesi non si restringe al solo campo spaziale ma può essere esteso a tutti quegli ambiti di lavoro in cui si debba affrontare problemi di propagazione delle incertezze o ricostruzione nonlineare dello stato (ad esempio in robotica).