Mechanics of the heart: constitutive issues and numerical experiments

In this thesis we have investigated the mathematical modelling of the heart, with a focus on the coupling of passive and active behaviour of the cardiac muscle. The main original results of this work can be resumed as follows: - The numerical keypoints for an effective numerical implementation of a nonlinear structural model (variational formulation, tangent problem, boundary conditions) are addressed in chapter 1. - Numerical simulations in test problems show that the application of the Holzapfel--Ogden strain--energy to cardiac mechanics weakly depends on the specific contribution of the strain of the sheets, while a strong sensitivity of the results on the orientation of the fibres is apparent. - The active behaviour of the cardiac muscle calls for an appropriate reformulation of the standard hyperelastic theory. In chapter 2 are illustrated the possible strategies in the respect, with a discussion of the pros and cons of an active strain formulation. In particular, the issues of rank--one convexity, frame--indifference and symmetry are pointed out. - The active bending of a monolayer of cardiomyocytes is used as a benchmark to calibrate the correct value of the active strain parameter. - The active deformation of sample geometries and a prolate ellipsoid representing a prototype of the left ventricle (including the microstructure) demonstrate the efficacy of the approach illustrated in the thesis. In particular, the correct volume variation, transmural shear and apex--base torsion of the left ventricle are numerically reproduced without any further parameters fitting.

In questa tesi ci siamo occupati alcuni aspetti della modellistica matematica del cuore, dal punto di vista dell'accoppiamento del comportamento passivo ed attivo del muscolo cardiaco. I principali risultati ottenuti sono i seguenti: - Sono stati sviluppati i punti fondamentali per una efficace implementazione numerica di un codice ad elementi finiti per la meccanica nonlineare (formulazione variazionale, problema tangente, condizioni al bordo). - Le simulazioni numeriche in casi test mostrano come nel modello di Holzapfel-Ogden per la meccanica cardiaca il contributo della struttura laminare delle fibre nell'energia di deformazione sia piccolo, a differenza del contributo specifico della distribuzione delle fibre muscolari sia fondamentale. - Il comportamento attivo del muscolo cardiaco richiede un'opportuna analisi matematica nel framework dell'iperelasticità. In questo lavoro presentiamo due possibili approcci, la deformazione attiva e lo sforzo attivo. Di entrambi studiamo le proprietà necessarie ad una buona positura del problema matematico, come convessità dell'energia, indifferenza materiale e simmetrie. - La deformazione attiva di un sottile strato di cellule cardiache su di un substrato elastico è studiata ed utilizzata come benchmark per calibrare correttamente l'intervallo fisiologico dei parametri del modello. - Lo studio di un prototipo fisiologicamente motivato del ventricolo sinistro, con microstruttura delle fibre e fogli, mostra come la deformazione attiva sia capace di riprodurre correttamente le variazioni di volume e la torsione.