Ricoprimenti della sfera in spazi normati

Oggetto di questa tesi è lo studio di ricoprimenti non banali della sfera unitaria S e della bolla unitaria B di uno spazio normato finito-dimensionale X. Nel capitolo 1 si esaminano le prime conseguenze della mancanza di compattezza della sfera in ambito finito-dimensionale: tra le più significative vi sono, ad esempio, il fatto che nessuna collezione finita di bolle di raggio minore di 1 può ricoprire S ed il fatto che nessuna successione di insiemi può ricoprire S se l'estremo superiore dei diametri di tali insiemi è minore di 2 e se il limite di tali diametri è 0. Il capitolo 2 tratta il seguente problema: ricoprire S senza ricoprire B. Un risultato tipico in questo contesto è il seguente: X è debolmente* separabile se e solo se S ammette un ricoprimento numerabile mediante insiemi chiusi e convessi la cui unione non copra B. Il capitolo 3 prende in esame ricoprimenti di S mediante bolle, che non siano ricoprimenti anche di B, sotto il seguente aspetto: quando devono necessariamente esistere punti che appartengono ad in finiti membri del ricoprimento? In particolare, mediante una diversa dimostrazione, un recente risultato viene migliorato nel senso seguente: se X è uno spazio di Hilbert, per ogni copertura numerabile di S mediante bolle la cui unione non copra B, esiste un punto di S coperto da infinite di queste bolle. Infine nel capitolo 4 si studiano ricoprimenti di S mediante bolle centrate in punti di S, esaminando in dettaglio il comportamento del parametro T(X), detto di thickness, definito come l'estremo inferiore dei raggi dei possibili ricoprimenti finiti di S mediante bolle centrate in punti di S.