Analisi di algoritmi di soluzione dell'equazione di Boltzmann con modello collisionale di Fokker Planck

Per studiare il comportamento di un fluido in varie condizioni di flusso e di geometria oggi le equazioni più comunemente untilizzate sono quelle di Navier-Stokes e Fourier (NSF). Tuttavia queste non sono le equazioni più generali possibili, infatti sebbene adatte alla maggior parte delle situazioni reali comuni in condizioni particolari falliscono nell'obiettivo fondamentale di descrizione verosimile del mondo reale. Questo accade perchè sono derivate sotto opportune ipotesi che perdono la loro validità in caso di gradienti estremi nella variazione di caratteristiche fisiche quali temperatura e velocità del fluido. Le due condizioni fisiche più frequenti nelle quali si trovano gradienti estremi sono i processi di miniaturizzazione e la rarefazione dei gas in alta atmosfera. Questo fallimento comporta l'obbligo di ricorrere ad equazioni alternative valide in condizioni e sotto ipotesi più generali. In questo lavoro di tesi l'attenzione è rivolta in particolare all'equazione di Boltzmann per l'evoluzione temporale della distribuzione di posizione e velocità di ogni singola particella che compone il gas. Si tratta dell'equazione che sta alla base della meccanica statistica, il ramo della fisica-matematica che studia i gas con modelli composti di un numero elevato di particelle distinte che interagiscono tra loro; le quantità fisiche macroscopiche che caratterizzano il flusso del gas si ottengono come medie locali sulla distribuzione di velocità delle particelle. Nel capitolo 1 si introduce il numero di Knudsen come parametro per distinguere le situazioni fisiche in cui le equazioni di Navier-Stokes offrono un'adeguata comprensione del fenomeno reale. Si ripercorre l'approccio molecolare che sta alla base dell'equazione di Boltzmann. Ci si sofferma sulla complessità delle simulazioni numeriche legate al termine collisionale e sull'opportunità di sostituirlo con termini collisionali alternativi che mantengano delle proprietà statistiche comuni con quello originale. Si descrive infine come ottenere le quantità macroscopiche come opportune medie sulla distribuzione di velocità. Nel capitolo 2 sono presentati due algoritmi di soluzione stocastici per l'equazione di Boltzmann con termine collisionale di Fokker-Planck, prima lineare e poi non lineare. Si descrivono la derivazione degli algoritmi, gli stimatori statistici impiegati, l'implementazione di particolari condizioni al contorno. Si studiano le proprietà di conservazione statistiche dei due algoritmi. Nel capitolo 3 si testano e validano i due algoritmi introdotti nel capitolo 2. Si considera un problema tra lastre parallele virtualmente infinite con flusso di Couette e si confronta la soluzione numerica con quella esplicita nota per la particolare semplicità del problema. Si confrontano i due algoritmi in termini di prestazioni.