Basket option pricing e calibrazione della superficie di volatilità dell'EURO STOXX 50

Object of this thesis work is the determination of an European Basket Option price, through analytic techniques, that is a option having like underlying a stock basket weighted. Thus the results are used to calculate, through a backward method, from real data donwloaded from the Bloomberg info-provider, the surface volatility of the index stock EURO STOXX 50, in this nancial index there are the best fty european rms categorized by capitalization. It has been used a Black & Scholes method, in other words we assumed the evolution of the single stock is lognormal. The problem starts with the determination of a closed formula able to seat the valuation of a call or put option. The famous Black & Scholes model provides us a closed formula but only in the case of a single underlying, however the sum of n indipendent random lognormal variables produces a random variabile with an unknown distribution. Therefore the problem to calculate the price with a numerical method. One of the most popular method used in these cases is a Monte Carlo approach: we simulate the stochastic process over and over and then averaging from results is possible to get the exact value in a con dence interval. The problem is that the error is reduced much more slowly than the number of the simulations. From here, various alternatives are reported in the thesis that, by analytical procedures, are able to provide both the lower limit that the upper limit of the option price. An iterative procedure is also proposed: this, using the LAGRANGE multipliers, improves the value of the already known Curran method for the determination of the lower limit. These analytical results are then used for a process of calibration of the surface volatility of the index surface reproduced in function of time and moneyness values (the ratio between forward F and and strike k). It's important highlighting that the calibration is realized from real market data on the 12=08=2012 at 17 : 32.

Oggetto di questo lavoro di tesi è la determinazione del prezzo tramite delle tecniche di stima di un'opzione basket europea, cioè un'opzione avente come sottostante un paniere di titoli pesati. Si utilizzano quindi i risultati ottenuti per calibrare, tramite procedimento backward e partendo da dati reali ottenuti grazie all'info-provider Bloomberg, la super cie di volatilità dell'indice azionario EURO STOXX 50, contenente le quotazioni delle prime 50 aziende europee classi che per capitalizzazione. E' stata utilizzata una modellistica di tipo Black & Scholes, ovvero si suppone che l'evoluzione del singolo sottostante sia di tipo lognormale. Il problema sorge nella determinazione di una formula chiusa capace di valutare un'opzione call o put. Il famoso modello di Black & Scholes ci o re una formula chiusa in presenza di un solo sottostante, ma, sommando n variabili aleatorie lognormali, la variabile risultante non è più lognormale e tale distribuzione non è nota. Dunque sorge il problema di determinare un metodo numerico e non analitico per stimare tale prezzo. Uno dei metodi più utilizzati in questi casi è il procedimento Monte Carlo: si svolgono diverse simulazione del processo stocastico e poi, mediando tra queste, è possibile ottenere il valore esatto a meno di un intervallo di con fidenza. Il problema è che l'errore si abbatte molto lentamente rispetto al numero di simulazioni. Da qui le diverse alternative segnalate nella tesi che, tramite dei procedimenti analitici, sono capaci di fornire sia il limite inferiore che il limite superiore del prezzo dell'opzione. Viene inoltre proposto un procedimento iterativo che, utilizzando i moltiplicatori di Lagrange, migliora il valore già noto del metodo di Curran per la determinazione del limite inferiore. Questi risultati analitici vengono quindi utilizzati per un procedimento di calibrazione della super cie dell'indice azionario EURO STOXX 50, super cie riprodotta in funzione del tempo e dei valori di moneyness (il rapporto tra il Forward F e lo strike k). E' importante sottolineare che la calibrazione viene eff ettuata a partire da dati di mercato reali, del 12=08=2012 alle 17 : 32.