From order on sets to order on power sets using semivalues

The problem of extending a preference relation over a set of objects to its power set has been carried out in the literature with the purpose of characterizing rankings over subsets with a system of axioms formulated according to the context. Unfortunately, this approach prevents any kind of interaction among the objects. Recently, cooperative games have been applied to handle this issue. A cooperative game can be naturally interpreted as the numerical representation of the preferences over the power set elements, in particular, we consider those extensions such that the ranking induced by a semivalue over the set of objects preserves the original preferences. The aim of this work is to compare the criteria that are introduced with the axiomatic approach with the properties which characterize the semivalue extensions and to study how certain semivalues characteristics impact on the extension problem. In particular, the concept of inseparability of games by semivalues brings to the introduction of the shuffle games, whose induced total preorders on the power set have been analysed and characterized. Furthermore the connection between semivalue extensions, weakly complete and semicoherent games is investigated. C++ codes have been implemented in order to provide extremely helpful tools for studying all topics covered in this work.

Molti problemi in ambito decisionale coinvolgono il confronto tra sottoinsiemi di un insieme di "oggetti" in situazioni in cui un sistema di preferenze su un insieme assegnato non è sufficiente per confrontare senza ambiguità tutti i suoi sottoinsiemi. In letteratura una soluzione è stata fornita tramite un approccio assiomatico, ovvero sono stati formulati dei criteri ragionevoli (a seconda del contesto applicativo e del significato associato agli oggetti) e successivamente è stata derivata una classifica soddisfacente tali criteri. Lo svantaggio di questo modo d'operare risiede nel fatto che gli assiomi introdotti impediscono l'interazione tra gli oggetti dell'insieme. Di conseguenza, si è sviluppato recentemente un nuovo approccio al problema basato sulla teoria dei giochi cooperativi. Lo scopo di questa tesi è quello di confrontare i criteri sviluppati dall'approccio assiomatico con le proprietà che caratterizzano i preordini allineati rispetto ad un certo semivalore o rispetto ad una famiglia di semivalori. Inoltre, uno studio approfondito dei semivalori e delle loro proprietà permette di analizzare come il loro utilizzo influisca sull'estensione della classifica. A supporto dell'analisi effettuata, sono stati sviluppati dei codici C++ che permettono, per esempio, di calcolare i semivalori di un gioco dato, di verificare le proprietà soddisfatte da un determinato preordine sull'insieme delle parti e di costruire tutti i possibili preordini completi su insieme di oggetti.