Non modal stability of laminar channel flow over porous walls

We perform a non-modal stability analysis of a fully-developed and laminar flow of an incompressible fluid through a channel bounded by flat, homogeneous, isotropic porous layers. We model the flow in the purely fluid region using the Navier-Stokes equations, and the flow through the porous layers using a volume-averaged version of the Navier-Stokes equations derived by Whitaker (1994). We restrict our study to flows through porous materials in which inertial effects can be considered negligible. We assume an exponential temporal dependence of the perturbations and derive the modal equations. We discretize the modal equations by means of the Chebyshev collocation spectral method, solve the related linear stability problem, and compute the maximum energy amplification among all the possible perturbations. We use an adaptive algorithm to carry out a parametric study in which we vary Reynolds number, streamwise and spanwise wavenumbers, permeability, porosity and a coefficient which represents the momentum transfer process at the interface between the fluid region and the porous material. We validate our methodology by comparing our eigenvalues with the ones reported by previous linear stability studies, as well as by recovering the transient energy growth of the plane Poiseuille flow, in the limit of zero permeability. We report that in well defined regions of the wavespace, permeability can increase the maximum value of the energy growth up to 40 with respect of plane Poiseuille flow. We show that this increase is associated to an optimal initial condition in which there is a significant flow across the interface. Moreover, we discover that the modes associated with the equations governing the fluid motion in the porous layers and with the momentum transfer conditions, do not contribute significantly to reported amplification of the maximum value of the energy growth function. We find that porosity and momentum transfer coefficient have a weaker influence on the transient growth than permeability does, while they alter significantly the linearly unstable regions in the wavespace.

Si effettua uno studio sulla stabilità non modale di un flusso incomprimibile, laminare e stazionario che attraversa un canale piano, indefinito e delimitato da pareti in materiale poroso. Il mezzo poroso è permeabile ed è caratterizzate da una porosità omogenea e isotropa. Si modella il comportamento del flusso nella regione puramente fluida con le equazioni di Navier-Stokes, mentre il flusso negli strati porosi viene modellato con le equazioni di Navier-Stokes mediate nel volume, derivate da Whitaker (1994). In questa tesi si considerano solo flussi in materia porosa in cui è lecito trascurare il contributo dei termini inerziali. Si considerano perturbazioni con forma d'onda spaziale, che dipendono dal tempo tramite un esponenziale complesso e si derivano le equazioni modali. Si discretizzano le equazioni modali utilizzando il metodo spettrale di Chebyshev, si risolve numericamente il conseguente problema agli autovalori e si calcola la funzione di crescita transitoria, dalla quale si estrae il valore massimo. Si usa un algoritmo adattivo per per fare uno studio parametrico nel quale si sono variati il numero di Reynolds, i numeri d'onda delle perturbazioni, la permeabilità, la porosità e il coefficiente che modella lo scambio di quantità di moto all'interfaccia tra regione fluida e strato poroso. Si valida il programma sia confrontando gli autovalori con quelli riportati da studi precedenti sulla stabilità lineare, sia recuperando la crescita transitoria per il flusso nel canale piano, nel limite di permeabilità tendente a zero. Si riporta che per determinati valori dei numeri d'onda delle perturbazioni, la presenza di pareti permeabili è in grado di amplificare fino al 40% il massimo della crescita transitoria, rispetto al canale piano con pareti impermeabili. Si mostra che questa amplificazione è associata ad una condizione ottima iniziale in cui è presente un considerevole flusso che attraversa lo strato poroso in direzione normale. Si riporta che la porosità e il coefficiente di scambio di quantità di moto modificano il massimo della crescita transitoria in maniera meno incisiva della permeabilità, mentre modificano significativamente le regioni linearmente instabili nello spazio dei numeri d'onda.