Volume temperature distribution from boundary measurement data

The operation and control of distributed systems usually requires precise information on the spatial dynamic variables of interest as a function of time. Often due to budget considerations one is not able to dedicate as many sensors as desired. In addition the physics of the problem may imply certain constraints in the case of positioning the sensors and therefore forcing the measurement spots to be placed other than the ideal locations. Hence, a systematic approach capable of enhancing the optimized solution in terms of spatial resolution and stability is quite crucial. The class of system considered is scalar field which can be described by parabolic partial differential equations. Here it has been mainly focused on temperature field; however, the method can be expanded to the whole mentioned class of problems. The thesis presents a method that is able to reconstruct the temperature distribution as a function of time over a desired domain using just a few measurements on the boundaries of the object under study. This problem is classified as an inverse problem. Due to the fact that typically the number of available sensors is much less than infinite dimension solution space the inverse problem is ill conditioned and the solution is not unique. Therefore, in the developed method the sensors are optimized in terms of number and location in order to reveal a solution with optimum resolution and stability. Unlike most of other presented methods in literature which are limited to number of dimensions of the object of interest and complexity of the geometry, the developed approach is capable of handling three dimensional objects having arbitrary shapes regardless of whether they consist of homogeneous or non-homogeneous materials. The solutions of heat equation problem can be categorized in two main groups, analytical and numerical solutions. Unfortunately the available analytical approaches lose their effectiveness as the complexity of the model increases; hence in order to keep the generality of the algorithm the numerical approach has been preferred here. The heat equation is treated as a special case of initial boundary value problems (IBVP). In the case of applying the eigenfunction expansion technique, the problem will boil down to Sturm-Liouville eigenvalue problem. Taking advantage of the resulted eigenfunctions as the basis of the solution space the temperature at any desired location of the domain can be reconstructed over time as properly weighted summation of these bases.The eigenfunction evaluation has been performed using a Finite Element Method (FEM) based software. In order to the weight coefficient an inverse problem should be solved. Considering the infinite dimensions of solution space and the fact that from computation burden and time consumption point of view it is practically impossible to deal with infinite dimensions, a novel technique is developed to reduce the size of system representation by only taking to account the most relevant bases. This technique involves the eigenfunctions based on the predefined target uncertainty and forms the reduced model space where the genetic algorithm is then applied to find the best possible number and positions of the sensors. The available boundary measurement surfaces and maximum number of sensors to be used are considered in constraints that should be satisfied. Since the method is intended to cope with real world situation the presence of noise over the measurement data, should be considered as well. Hence the genetic algorithm is obliged to maintain the tradeoff between the precision of the reconstructed temperature and their sensitivity to noise. Since the more close the solution fits the measured data the less robust it would be in the noisy situation. The ignorance of one side would lead to either a stable solution with off target solutions or a solution with high resolution which turns to a useless noise amplifier in the case of noisy information. The performed tests and case studies confirm the capabilities of the method. In summary the method has the main advantage of being able to be performed in practical situations where the object can be composite, non-homogenous with complex geometry and its capacity to be extended to other physical phenomenon other than heat evolution which can be formulated with parabolic quasi-linear partial differential equations. In addition the method is capable of giving the user a preview of the observation error which will be present over the final reconstructed temperature based on the available measurement boundaries, therefore, preventing adding extra sensors in hope of increasing the accuracy making the method economically reasonable.

Il funzionamento e controllo dei sistemi distribuiti normalmente richiede informazioni precise sulle variabili dinamiche spaziali di interesse in funzione del tempo. Spesso a causa di vincoli tecnici e economici non si è in grado di dedicare alla misura un gran numero di sensori, come desiderato. Inoltre la peculariatà del processo oggetto di osservazione può implicare determinati vincoli nel posizionamento dei sensori, forzando quindi le posizioni di misurazione in punti diversi dalle posizioni ideali. Di conseguenza un approccio sistematico in grado di valorizzare la soluzione ottimale in termini di risoluzione spaziale e la stabilità è cruciale. La classe del sistema considerato è quella dei campi scalari che possono essere descritti da equazioni differenziali alle derivate parziali paraboliche. Qui si è concentrata principalmente l’attenzione sul campo di temperatura; tuttavia, il metodo può essere esteso a tutta la classe di problemi menzionati. La tesi presenta un metodo in grado di ricostruire la distribuzione di temperatura in funzione del tempo su un dominio desiderato utilizzando pochi misurazioni in un dominio assegnato dell'oggetto in esame. Questo problema è classificato come un problema inverso. A causa del fatto che in genere il numero di sensori disponibili è modesto e che il rpoblema analizzato è di natura mal-posto, la soluzione in genere è mal condizionata e non è unica. Pertanto, nel metodo sviluppato i sensori sono ottimizzati in termini di numero e posizione al fine di rivelare una soluzione con risoluzione e stabilità ottimali. A differenza di molti altri metodi presentati in letteratura che sono limitati al numero di dimensioni dell'oggetto di interesse e complessità della geometria, l'approccio sviluppato è in grado di gestire oggetti tridimensionali aventi forme arbitrarie. Inoltre gli oggetti possono essere costituiti da materiali non omogenei. Le soluzioni di problemi descritti tramite l’equazione del calore possono essere classificati in due gruppi principali: le soluzioni analitiche e le soluzioni numeriche. Purtroppo gli approcci analitici disponibili perdono la loro efficacia quando la complessità del modello aumenta. Di conseguenza, al fine di mantenere la generalità dell'algoritmo, in questo lavoro l'approccio numerico è stato preferito. L'equazione del calore viene trattata come un caso particolare di problemi al contorno iniziali (IBVP). Nel caso in cui si decida di applicare uno sviluppo in serie di autofunzioni della soluzione, il problema si riduce a un problema di Sturm-Liouville agli autovalori. Sfruttando le autofunzioni come base dello spazio della soluzione, la temperatura in qualsiasi posizione desiderata del dominio può essere ricostruita nel corso del tempo come somma correttamente ponderata delle autofunzioni. Il calcolo delle autofunzioni è stato eseguito utilizzando un metodo numerico agli elementi finiti (FEM). Per i calcolo dei coefficiente di peso un problema inverso deve essere risolto. Considerando le infinite dimensioni dello spazio soluzione ed il carico computazionale, è praticamente impossibile trattare infinite dimensioni. Una tecnica innovativa è stata sviluppata per ridurre le dimensioni di rappresentazione del sistema considerando esclusivamente le basi più rilevanti per la soluzione. Questa tecnica comporta la scelta di autofunzioni sulla base di una determinata incertezza obbiettivo della soluzione, e forma lo spazio a dimensione finita in cui l'algoritmo genetico viene utilizzato per individuare il numero e le posizioni ottimali dei sensori. I volumi in cui effettuare le misure e il numero massimo di sensori da utilizzare sono considerati come vincoli che devono essere soddisfatti. Poiché il metodo è destinato a fronteggiare situazione reali in presenza di rumore nei dati di misura, l'algoritmo genetico è forzato a trovare un compromesso tra la risoluzione spaziale della temperatura ricostruita e la sua sensibilità al rumore. I test effettuati e i casi studio analizzati confermano le potenzialità del metodo. In sintesi il metodo ha il principale vantaggio di poter essere eseguito in situazioni pratiche in cui l'oggetto può essere composito, non omogeneo e con geometria complessa. Inoltre il metodo proposto è applicabile ad altri fenomeni fisici, diversi dalla distribuzione del calore, che possano essere formulati tramite equazioni alle derivate parziali quasi-lineari di tipo parabolico. Inoltre il metodo è in grado di dare all'utente una anteprima dell'errore di osservazione che sarà presente sulla temperatura finale ricostruito sulla base dei limiti di misura disponibili, nella speranza di aumentare la precisione del risultato con il minor numero possibile di sensori.