Distant periodic orbits for asteroid detection

This work carried out in this thesis is set in the framework of the Circular Restricted Three Body Problem (CRTBP). The CRTBP has attracted the attention of many astronomers and mathematicians since it was first considered by Euler in 1772 and Jacobi in 1836. The main reason for this continued interest is that this mathematical model represents a good first approximation in a number of real scenarios in astronautics and astronomy. In the framework of Planar CRTBP this thesis focuses on the study of distant periodic orbits and their application to the detection of potentially hazardous near Earth asteroids and the observation of the Earth. Distant periodic orbits derive from the work by Hénon who developed a systematic theory for the study of periodic orbits in the CRTBP. Hénon’s work is restricted to Hill’s problem, the particular case of the CRTBP where the mass parameter μ of the planetary system is vanishingly small but different than zero. Hénon computed periodic and non-periodic orbits; in the present work, we restrict our attention only to the periodic orbits, which play an important role in the context of the Sun-Earth and Earth-Moon system. Four families of orbits were analysed; namely family-f, family-g, family-a and family-c. Starting from Hénon initial conditions valid for μ tending to zero, we reproduced the evolution of these families in the PCRTBP (i.e., where the gravitational parameter μ does not tend to zero). A differential correction method, coupled with a continuation method, was designed to identify the first guess conditions for each orbit in the PCRTBP. Then the complete map of the periodic orbits was built in the (Γ,ξ) plane. The most attractive feature of these orbits is the large distance they reach from the second body, while continuing to orbit around it. Hence, from an engineering point of view, they are interesting operational orbit for space observation of Near Earth asteroids and comets. In fact, from these orbits, spacecraft carrying telescopes can monitor and protect the space surrounding the Earth. In particular, since part of the orbit is spent in between the Earth and the Sun, it is possible to cover a region of space that is usually forbidden using ground based telescope (being in the direction of the Sun, so not observable with optical instruments). This allows monitoring asteroids which may intersect the Earth on a trajectory which comes from the Sun-Earth direction and thus increasing the warning time before a possible re-entry in the Earth’s atmosphere. A mathematical model was used to assess the observation capabilities of a spacecraft on distant periodic orbits. A set of contour curves are computed to identify the minimum asteroid size that can be observed from a given geometrical configuration: between the Earth, the Sun and the asteroid for ground-based survey system, or between the spacecraft, the Sun and the asteroid for space-based survey system. This research demonstrates that a space-based telescope on distant periodic orbit can cover a wider space region compared to ground-based telescope; it is also possible to detect asteroids that come from the Sun direction because a space platform is able to search at smaller elongation angle from the Sun.

Il presente lavoro di tesi studia le Distant Periodic Orbits (Orbite Periodiche Distanti) nel sistema Terra-Sole e Terra-Luna e la loro applicazione al monitoraggio di asteroidi che potrebbero impattare con la Terra e l’osservazione terrestre. Il presente lavoro di tesi si inserisce all’interno del filone di ricerca del Problema Circolare Ristretto dei Tre Corpi (PCRTC). Il PCRTC ha attratto una moltitudine di astronomi e matematici, dai primi studi sviluppati da Eulero nel 1772 e Jacobi nel 1836. La ragione principale del continuo interesse verso questo affascinante modello matematico è probabilmente dovuta al fatto che esso rappresenta una buona approssimazione iniziale per una serie innumerevole di scenari reali di astrodinamica e astronomia. Il PCRTC è rappresentato nel caso generale da tre equazioni non lineari autonome del secondo ordine se visto in un sistema di riferimento non inerziale, e appartiene alla classe generale dei sistemi dinamici quasi integrabili. Nel caso piano il modello è noto come Problema Planare Circolare Ristretto dei Tre Corpi (PPCRTC). La parte integrale del modello è rappresentata dalla soluzione del problema kepleriano dei due corpi, mentre la parte non integrabile è data dalla perturbazione provocata dal campo gravitazionale del corpo primario. Ogni sistema planetario viene identificato da un unico parametro, il parametro di massa μ, funzione esclusivamente delle masse dei pianeti. Il sistema non inerziale è noto in letteratura come sistema Siderale e ruota nel piano x-y del sistema inerziale con la medesima velocità angolare dei due corpi primari. Nel caso del PPCRTC i due pianeti ruotano su orbite circolari centrate rispetto al baricentro del sistema. Il centro di rotazione del sistema Siderale è posto nel baricentro del sistema planetario, mentre m_1 e m_2 sono posti per ogni istante di tempo lungo l’asse delle ascisse rispettivamente in [-μ,0] e [1-μ,0]. Attraverso il modello matematico del PPCRTC questa tesi studia alcune famiglie di orbite periodiche partendo dai risultati di Hénon. Esse sono rispettivamente: orbite della famiglia-f (orbite stabili retrograde attorno alla massa del corpo secondario, orbite della famiglia-g (orbite prograde stabili e instabili attorno alla massa del corpo secondario), orbite della famiglia-a e c (orbite instabili attorno ai punti di Librazione L_2 e L_1). Le orbite della famiglia-f e g sono in generale note in letteratura con il nome di Distant Periodic Orbits (DPOs). Il lavoro di Hénon è incentrato su un modello semplificato del PPCRTC, noto in letteratura come modello matematico di Hill che considera il caso in cui il parametro di massa μ tende a zero. Il modello di Hill utilizza le equazioni del PPCRTC accoppiate ad una trasformazione di scala per le coordinate di posizione e per le velocità. Una volta ottenute le nuove equazioni trasformate, le si sottopongono ad un processo di limite matematico considerando μ→0. Le nuove equazioni del moto, grazie alla trasformazione di scala e al processo di limite, non sono più funzione del parametro di massa µ. Attraverso tali trasformazioni i due corpi primari si spostano nel piano del moto; il primario si porta in -∞, mentre il secondario si porta nell’origine del sistema di riferimento di Hill con coordinate (ξ,η). Il riferimento di Hill è dunque sovrapposto con il sistema siderale dei tre corpi centrato nella massa del corpo secondario. In questo lavoro abbiamo dapprima raffinato i risultati numerici di Hénon, utilizzando il modello matematico di Hill, e successivamente abbiamo aggiornato il piano (Γ,ξ) delle curve caratteristiche. Tali curve descrivono in maniera completa le infinite orbite periodiche appartenenti alle diverse famiglie. Un’orbita periodica è interamente definita se si conosce il valore della costante di Hénon Γ (legata alla costante di Jacobi del problema dei tre corpi attraverso la trasformazione di scala e al processo di limite precedentemente menzionati), e il valore dell’ascissa iniziale del vettore di stato orbitale. Il vettore di stato di Hill è rappresentato da [■(ξ&η&ξ ̇&η ̇ )]^T. Un’orbita periodica semplice interseca per definizione l’asse delle ξ due volte in un periodo orbitale. La scelta dell’ascissa iniziale deve essere fatta in maniera tale da ottenere all’intersezione η ̇>0. Grazie alla simmetria dell’orbita, in tale punto il vettore di stato è dato da [■(ξ&0&0&η ̇ )]^T. Nota ξ, la velocità iniziale η ̇ viene ricavata dal valore della costante di Hénon esprimibile come: Γ=3ξ^2+2/√((ξ^2+η^2 ) )-(ξ ̇^2+η ̇^2 ). Noto il vettore di stato iniziale [■(ξ_0&0&0&η ̇_0 )]^T, si integra la dinamica di Hill e, nel caso in cui il vettore di stato iniziale appartenga all’orbita periodica, siamo in grado di generare l’orbita finale. Nel caso generale la first guess iniziale andrà opportunamente corretta. La correzione viene eseguita attraverso il metodo del differential correction che si basa sostanzialmente sul metodo di Newton. L’ampliamento delle condizioni iniziali è stato effettuato utilizzando un metodo di continuazione. Una volta aggiornato il piano (Γ,ξ) (che nel caso del modello di Hill è costruito tenendo conto che μ tende a zero), si è passati al PPCRTC dove il parametro di massa assume un valore finito. Il parametro di massa è funzione del sistema planetario analizzato, e nel nostro lavoro faremo riferimento al sistema Sole-Terra e al sistema Terra-Luna. A parità di energia, un’orbita di una determinata famiglia tenderà ad avvicinarsi al secondario nel sistema adimensionale, con il diminuire del parametro di massa. Ciò è indice del fatto che, la diminuzione di µ, implica che il campo gravitazionale del secondario esercita una minor influenza sul satellite e di conseguenza per ottenere un’orbita periodica attorno al secondario le distanze adimensionali devono diminuire sensibilmente. Anche per il PPCRTC si è utilizzato il differential correction e il metodo di continuazione. Infine per quanto riguarda la parte di dinamica orbitale abbiamo eseguito un’analisi comparativa sulle caratteristiche delle varie famiglie orbitali, in termini di distanze, velocità, periodi orbitali e energie. La seconda parte del lavoro si è incentrata sull’osservazione spaziale di asteroidi adottando un modello astronomico noto in letteratura come H-G model. Tale modello permette di calcolare la magnitudine apparente V(κ(t)) di un asteroide tramite la relazione: V(κ(t))=H+5 log_10⁡〖(R_1 (t)∙R_2 (t))-2.5 log_10⁡((1-G) Φ_1 (κ(t))+GΦ_2 (κ(t))) 〗 dove H è la magnitudine assoluta, R_1 (t) e R_2 (t) sono rispettivamente la distanza Sole-asteroide e Osservatore-asteroide, mentre κ(t) rappresenta l’angolo di fase solare, ovvero l’angolo compreso tra R_1 (t) e R_2 (t). Abbiamo analizzato le potenzialità di un sistema di osservazione terrestre e di un sistema di osservazione spaziale. Il sistema di osservazione spaziale sfrutta la dinamica orbitale studiata nella prima parte della tesi. In particolare abbiamo sfruttato le orbite della famiglia-f , le quali permettono di raggiungere elevate distanze dal corpo secondario, sia lungo l’asse x, sia lungo l’asse y del sistema di riferimento siderale. Le orbite della famiglia-g permettono di raggiungere elevate distanze dal corpo secondario solo lungo l’asse y, a discapito di un avvicinamento lungo l’asse x e quindi sono state considerate nello studio del monitoraggio di asteroidi poiché la regione di spazio osservabile da tali orbite a parità di contenuto energetico orbitale rispetto a un’orbita della famiglia-f cala sensibilmente. Dal modello H-G è possibile ottenere il diametro dell’asteroide attraverso l’equazione seguente: D_smallest (t)=1/√(p_v )∙1329∙〖10〗^(H_lim⁄5) [km] dove H_lim rappresenta la magnitudine assoluta limite, legata alle potenzialità del sistema di osservazione. L’analisi dei due diversi sistemi di osservazione è stata svolta nel sistema siderale centrato a Terra. In queste analisi abbiamo considerato un vincolo sulla regione di spazio osservabile sia da Terra, che dallo spazio. Tale vincolo (valevole solo per i sistemi di osservazione spaziale) restringe i 360° di spazio osservabile a 280° poiché non è possibile tramite un telescopio spaziale osservare nella direzione del Sole. Ne deriva una exclusion zone di 80° di forma conica centrata nella posizione orbitale dello spacecraft e diretta verso il Sole. Per quanto riguarda l’osservazione terrestre, i telescopi possono osservare solo il cielo notturno, e di conseguenza l’area di spazio angolare osservabile scende a 180°. Tuttavia per operare un confronto tra le aree di spazio osservabile con i due differenti sistemi di osservazione, si è optato per una medesima exclusion zone di 80°. In tal modo si è considerato telescopi terrestri più performanti. Per quanto concerne l’analisi con il sistema spaziale, abbiamo considerato una formazione satellitare costituita da quattro satelliti equamente distribuiti sull’orbita in termini temporali. I satelliti spendono parte del loro moto orbitale all’interno della exclusion zone, la zona di spazio non osservabile con un telescopio terrestre. Questo ci permette di monitorare tutti quegli asteroidi provenienti dalla direzione Sole-Terra che potrebbero intersecare l’orbita terrestre o addirittura impattare con il nostro pianeta, e che non è possibile monitorare con un telescopio terrestre. L’accoppiamento del modello orbitale studiato nella sezione 4 e del modello per l’identificazione del diametro degli asteroidi, ci ha permesso di ottenere una serie di curve bidimensionali nel piano siderale. Tali curve sintetizzano ciò che un telescopio spaziale o terrestre è in grado di vedere con una determinata configurazione geometrica. Le due configurazioni geometriche studiate sono: Terra-Sole-asteroide per il sistema di osservazione terrestre e satellite-Sole-asteroide per il sistema di osservazione spaziale. I risultati ottenuti mostrano che l’utilizzo di telescopi spaziali, che sfruttano la dinamica orbitale delle DPOs, sono in grado di coprire una regione di spazio maggiore rispetto ad un sistema di osservazione terrestre, poiché offrono la possibilità di monitorare una buona parte dell’exclusion zone, che al contrario risulta non monitorabile con un sistema di osservazione terrestre.