Numerical simulation of the Darcy's problem on surfaces in R3

In the simulation of a flow in a porous medium, a key aspect is the treatment of fractures, local strong heterogeneities of the subsoil, characterized by a very small size in comparison with that of the whole basin. In order to solve this problem in literature was introduced a reduced model, which consists in considering the fracture as a n-1 dimensional surface immersed in a n-dimensional domain. In this work we consider the Darcy’s problem defined on a generic two-dimensional surface. We give an analysis of the properties of the numerical discretization of the problem, focusing on the relationships between the variables defined on the discrete surface and those defined on the real one, finally providing an estimate for the discretization error. We then implemented, within the finite element library LifeV, the C++ code for computing a numerical solution of the problem.

Nella simulazione di un flusso all’interno di un mezzo poroso un aspetto fondamentale è il trattamento delle fratture, forti eterogeneità locali del sottosuolo, caratterizzate da dimensioni molto inferiori rispetto a quelle dell’intero bacino. Per risolvere questo problema in letteratura è stato introdotto un modello ridotto, che consiste nel considerare la frattura come una superficie n-1 dimensionale immersa in un dominio n-dimensionale. In questa tesi abbiamo considerato il problema di Darcy definito su una generica superficie bidimensionale. Abbiamo effettuato un analisi sulle proprietà della discretizzazione numerica del problema, concentrandoci sulle relazioni tra le variabili definite sulla superficie discreta e quelle definite sulla superficie reale, fornendo infine una stima per l’errore di discretizzazione. Abbiamo quindi implementato, all’interno della libreria a elementi finiti LifeV, il codice C++ per la risoluzione numerica del problema.