A simulation tool for asteroids' orbit determination based on Taylor differential algebra

This thesis is focused on the development and validation of a simulation tool for asteroids' orbit determination by means of angular optical measurements. The peculiarity of the tool is the exploitation of high order methods based on Differential Algebra (DA) for the treatment of observation uncertainties. DA is a mathematical approach to solve parametric and differential problems, evaluating arbitrary order Taylor polynomials of multivariate functions. The main advantage of such architecture is that it can provide an accurate and still time effective estimation of the trajectories of potentially unknown asteroids, relying on limited and uncertain measurements. The main features of the software are: simulation of angular observations, preliminary and accurate orbit determination. Angular measurements simulation is based on the propagation in time of initial asteroid ephemerides through N-body dynamics; aberration, precession and nutation effects may be taken into account to consider apparent observables. Preliminary Orbit Determination (POD) consists in an iterative algorithm that requires three couples of angular observations; the traditional Gauss method is used to provide first guess solutions to the iteration procedure, that is based on Lambert method and Keplerian dynamics. Uncertainties associated to the observa- tions are analytically mapped into the body state as high-order multivariate Taylor polynomials. These polynomials are propagated forward in time with N-body dynamical model inside a high order Extended Kalman filter, in order to improve the accuracy of trajectory estimation and evaluate the state at generic epochs. Performance of the software and convergence of POD are analysed by running the algorithms on a list of real Near Earth Asteroids and simulated topocentric observations.

Il lavoro di tesi esposto ́e incentrato sullo sviluppo e validazione di uno strumento di simulazione per la determinazione orbitale di asteroidi tramite misure ottiche angolari. La peculiarita ́ dello strumento proposto consiste nell’utilizzo di metodi ad alto ordine basati sull’Algebra Differenziale (DA) per la gestione di incertezze di misura. La DA ́e un approccio matematico per la risoluzione di problemi parametrici e differenziali, tramite lo sviluppo di polinomi di Taylor ad ordine arbitrario di funzioni multivariabili. Il vantaggio principale di una tale architettura risiede nel poter fornire stime accurate e computazionalmente convenienti delle traiettorie di asteroidi, anche potenzialmente non esistenti, usando misure limitate ed affette da incertezze. Le funzionalita ́ principali del software sono: simulazione di osservazioni angolari, determinazione orbitale preliminare ed accurata. La simulazione delle misure ́e basata sulla propagazione nel tempo delle effemeridi iniziali dell’asteroide per mezzo di un modello n-corpi della dinamica; gli effetti di aberrazione, precessione e nutazione possono essere considerati per il calcolo di osservabili apparenti. La determinazione orbitale preliminare (POD) consiste in un algoritmo iterativo, che richiede tre coppie di osservazioni angolari; il consueto metodo di Gauss ́e usato per fornire soluzioni di primo tentativo all’iterazione, basata sul metodo di Lambert e sulla dinamica Kepleriana. Le incertezze di misura sono propagate nelle mappe di posizione e velocita ́ del corpo, tramite polinomi multivariabili di Taylor ad alto ordine. Questi polinomi sono integrati nel tempo tramite un modello n-corpi all’interno di un filtro esteso di Kalman ad alto ordine, col fine di migliorare l’accuratezza della stima della tariettoria e di valutare lo stato a tempi generici. Il rendimento del software e la convergenza del metodo POD sono esaminati eseguendo simulazioni con un numero elevato di asteroidi near-Earth e osservazioni topocentriche simulate.