Linear and nonlinear vibrations and stability of a periodically simply supported plate in axial flow

Vibrations are a major problem due to excitations of many kinds, including flow-induced excitations; vibrations with large amplitude displacements, i.e. geometrically non-linear vibrations, often emerge in structural dynamics. They occur in important applications, including aerospace and aeronautic engineering, biomechanics, bridge dynamics and rotating blades. In particular, a variety of important problems of structural strength and stability of plates, arising in modern aircraft construction, can not be adequately analyzed on the basis of the classical theory since the plate deflections experienced are not small in comparison with the plate thickness. Indeed, due to high levels of acoustic pressure, vibrations of plates with large displacements, introducing geometrical non-linearity, occur in the aeronautical industry. Here is the reason behind the topic addressed in this thesis that deals with linear and nonlinear vibrations and stability of a thin rectangular plate with immovable edges immersed in axial liquid flow on its upper side. In addition, the literature related to nonlinear studies of plates coupled to flowing fluid is not large and no one before has never addressed the effect of initial geometric imperfections on the dynamical behavior of the coupled system. As a consequence of this lack in the literature, a solution mathematically exact within the hypothesis of inviscid flow and the series solution has been developed in this thesis and the corresponding numerical results are here presented. In addition, nonlinear results for the plate in axial flow with imperferctions are here discussed for the first time in literature. The linear study here presented has been published in May 2013 in the Journal of Fluids and Structures (Tubaldi & Amabili); the corresponding nonlinear study has been accepted to the Fourth Canadian Conference on Nonlinear Solid Mechanics (Tubaldi et al.). Since this problem under these hypothesis has never been addressed in literature any comparisons with previous studies can be carried out. Nevertheless, the predicted behavior of the system correctly reproduce the expected general trend according to similar configurations previously studied in literature. In particular, a divergence instability is detected by the linear theory. The vibration modes of the plate coupled to flow are complex. In particular, the fundamental mode has a real part with a predominant longitudinal half-wave, which is the natural mode for zero flow, and an imaginary part with predominant two half-wave terms, due to the convective component. This complex mode travels along the plate with the flow. In order to correctly predict the system behavior beyond the onset of divergence the use of a geometrically nonlinear plate theory is necessary. Numerical results show a hardening type behavior of the system, which is modified by the flow. Indeed, according to the theory, flat plates with restrained normal displacement at the four edges exhibit a hardening-type non linearity for vibration amplitude of the order of the plate thickness. A stronger hardening behavior is detected by increasing flow velocity. The system loses stability by divergence (pitchfork bifurcation) for high flow speeds in accordance with the linear theory. The nonlinear response at different flow velocities for fixed excitation amplitude by varying the excitation frequency is studied by using a code based on pseudo-arclength continuation method and the bifurcation analysis. The modal interaction in the response of the fundamental mode with higher modes is detected for certain frequency ranges. Effects of geometric imperfections on the trend of nonlinearity and on natural frequencies are shown. Because of imperfections, the pitchfork bifurcation disappears and the system presents a continuous post-buckling configuration. Geometric imperfections play also an important role in the frequency response behavior of the system since the flat plate becomes a curved panel (even if very shallow), which exhibits an initial softening behavior, turning to strong hardening nonlinearity for larger vibration amplitude. A possible interesting engineering application of this theoretical study could be the simulation of a submarine fin (control surface) or of a torpedo fin (tail fins). The nonlinear behavior (corresponding to vibration amplitude of the thin plate larger of the order of 1/10 the thickness) may represent the reaction of the system to a submarine explosion, a sudden maneuver or to an impact.

Le vibrazioni nonlineari rappresentano uno dei principali problemi nella dinamica strutturale legati a sollecitazioni di varia natura, tra cui quelli dovuti all'interazione fluido-struttura. Infatti, specie in applicazioni di ambito aerospaziale, biomedico, nucleare e navale, le strutture subiscono vibrazioni di grande ampiezza se paragonate allo spessore della struttura stessa vista la necessità di ridurre al minimo tale spessore al fine di minimizzare il peso, aumentare lo scambio termico e ridurre i costi. Sotto tali ipotesi, la struttura non può più essere modellata secondo una teoria lineare visto che le deformazioni fuori dal piano sono sufficientemente ampie tali per cui l'interazione tra gli sforzi membranali e la curvatura della piastra non può più essere trascurata. Vista la scarsità in letteratura di studi teorici sulle vibrazioni nonlineari e sull'analisi di stabilità di piastre in flussi assiali, l'obiettivo di questo lavoro di tesi è di colmare tale mancanza introducendo in particolare un modello teorico capace di tenere in considerazione anche le imperfezioni della piastra. Ammettendo l'impiego del metodo di Rayleigh-Ritz per discretizzare il sistema, i risultati qui presentati sono esatti dal punto di vista analitico sotto le ipotesi di fluido non-viscoso. Nella fattispecie, le vibrazioni nonlineari di un sistema composto da una piastra con imperfezioni posta in un flusso assiale vengono qui trattate per la prima volta in letteratura. La parte legata alle vibrazioni lineari della piastra in un flusso assiale presentata nella prima sezione di questo lavoro di tesi è stata pubblicata nel Maggio 2013 dal Journal of Fluids and Structures (Tubaldi & Amabili); la corrispondente parte nonlineare (presentata nella seconda sezione) è stata pubblicata alla conferenza Fourth Canadian Conference on Nonlinear Solid Mechanics (Tubaldi et al.) nel Luglio 2013. Dal momento che il problema come qui formulato non è mai stato trattato in letteratura, non è possibile effettuare dei confronti numerici diretti con dei risultati di studi antecedenti a tale lavoro. Tuttavia, dal punto di vista qualitativo, il comportamento dinamico e l'analisi di biforcazione della struttura qui presentati sono in accordo con studi precedenti basati su configurazioni simili a quella del sistema analizzato in questa sede. In particolare, la teoria lineare prevede una perdita di stabilità da parte del sistema all'aumentare della velocità del flusso a causa di una divergenza, ovvero un'instabilità statica (buckling). I modi vibrazionali della piastra accoppiata col fluido sono complessi. Nella fattispecie, il modo fondamentale ha una parte reale con una semionda longitudinale tipico del modo naturale della piastra in assenza di flusso e una parte immaginaria con due semionde longitudinali dovute alla componente convettiva del flusso. Infatti, l'effetto giroscopico è alla base dell'accoppiamento di modi con numero di onde pari e dispari nella direzione del flusso, con angoli di fase diversi, che si manifestano in tali modi di vibrazione complessi (traveling waves) e non modi normali (stationary waves). Al fine di predire correttamente il comportamento della sistema fluido-struttura per velocità del fluido superiori alla velocità critica di divergenza, la teoria non-lineare di Von Karman viene introdotta per descrivere la piastra. Grazie all'analisi di biforcazione condotta con la velocità del fluido come parametro di biforcazione, una supercritical pitchfork bifurcation viene individuata in corrispondenza della velocità critica di divergenza predetta dalla teoria lineare, mostrando giustamente l'accordo tra le due teorie sulla prima instabilità della struttura. D'altra parte, aumentando la velocità del fluido al di là della velocità critica di divergenza, il coupled mode flutter predetto dalla teoria lineare non viene confermato dalla teoria nonlineare che mostra invece una seconda pitchfork bifurcation. I risultati numerici mostrano che il picco di risonanza della frequenza naturale della piastra si muove verso frequenze più alte all'aumentare della velocità del fluido accentuando il comportamento hardening del sistema. Tale risultato è in accordo con la teoria che prevede per piastre vincolate trasversalmente sui quattro lati una nonlinearità di tipo hardening per ampiezze vibrazionali dell'ordine dello spessore della piastra. Un carico concentrato armonico viene applicato in (x, y) dove x = a/4 e y = b/4 essendo "a" e "b" rispettivamente la dimensione longitudinale e laterale della piastra. La risposta del sistema a tale forzante con frequenza di eccitazione fissa e ampiezza variabile viene studiata per diverse velocità del fluido grazie all'utilizzo di un codice basato sulla tecnica di continuazione pseudo-arclength e sulla teoria di biforcazione. L'interazione modale nella risposta del modo fondamentale con armoniche superiori viene individuata in taluni intervalli di frequenze. Infine, la presenza di imperfezioni geometriche iniziali della piastra -in direzione trasversale e associate a uno sforzo nullo- viene presa in considerazione. A causa di tali imperfezioni, le frequenze proprie e il comportamento nonlineare del sistema accoppiato col fluido vengono modificati. In particolare, la pitchfork bifurcation scompare dal diagramma di biforcazione (in funzione della velocità del fluido) e viene sostituita da una configurazione continua di post-buckling. Inoltre le imperfezioni giocano un ruolo importante nella risposta in frequenza del sistema dato che la piastra passa dall'essere un pannello perfettamente piatto a un pannello curvo (anche se con curvatura minima) e quindi il sistema presenta un comportamento softening per vibrazioni di piccole ampiezze che diventa hardening per vibrazioni di ampie ampiezze. Una possibile interessante applicazione ingegneristica del modello teorico qui presentato sarebbe il suo utilizzo per descrivere il comportamento di un fin di un sottomarino (superficie di controllo o di manovra) o di un torpedo (fin di coda). Tale componente potrebbe presentare un comportamento nonlineare conseguentemente a un'esplosione sottomarina, a una manovra improvvisa o a un urto.