High order discontinuous Galerkin methods on simplicial elements for the elastodynamics equation

High order methods for elastic wave propagation phenomena in seismic regions have seen a great development in the last years. Specifically, the spectral element (SE) method combines the high accuracy of spectral methods with the flexibility of finite element methods (FEM). SE methods have been introduced and are currently built mainly on mashes made of tensor product elements (i.e., deformed squares and cubes). In this work we consider the application of the discontinuous spectral element method on meshes made of simplicial elements to the approximation of the elastodynamics equation. This approach provides the high accuracy of spectral methods, combined with the geometrical flexibility of simplex elements and with the computational scalability of Discontinuous Galerkin (DG) methods. We thoroughly analyze the dissipation, dispersion and stability properties of the scheme introduced, with a focus on the choice of the basis functions. Finally, we test the method on benchmark test cases.

Negli ultimi anni, vi è stato un grande aumento sia nella richiesta che nell'avanzamento teorico dei metodi di alto ordine per l'approssimazione di fenomeni di propagazione di onde sismiche. Fra i metodi di alto ordine si distingue il metodo agli elementi spettrali, che combina l'alto ordine di accuratezza dei metodi spettrali con la flessibilità dei metodi agli elementi finiti. Le griglie computazionali su cui i metodi agli elementi spettrali sono stati introdotti (e su cui vengono usualmente implementati) sono composte da elementi formati tramite prodotto tensoriale di intervalli monodimensionali, cioè quadrati e cubi deformati. In questo lavoro si considera un metodo agli elementi spettrali discontinuo, basato su griglie composte di triangoli o tetraedri, nella sua applicazione all'approssimazione dell'equazione dell'elastodinamica. Questo permette di ottenere un metodo che offre sia l'alto ordine dei metodi agli elementi spettrali che la flessibilità geometrica e l'h-adattabilità fornita dagli elementi triangolari. Inoltre, l'uso di un metodo di Galerkin discontinuo fornisce un approccio computazionalmente scalabile e P-adattabile. Si è quindi provveduto ad analizzare in dettaglio le proprietà di dissipazione, dispersione e stabilità del metodo introdotto, considerando le possibili scelte per quanto le riguarda le funzioni di base. Lo schema numerico è stato infine provato su diversi casi di riferimento per la simulazione della propagazione di onde sismiche.