Implementation and validation of a shape memory material model into Abaqus

The object of the thesis work is the numerical implementation of a constitutive model for shape memory alloys in the ABAQUS/Explicit finite element program by writing a user material subroutine (VUMAT). The work has been performed at the Imperial College of London, where the author has spent 6 months for an university internship. The model is then used to analyze the response of a shape memory alloy wire under a thermally induced transformation: in fact the application of an SMA wire actuator in smart structures is generally related to a thermally induced transformation with a variable applied stress and in most applications the heat is conveniently and precisely generated by an electrical current. The reason of the explicit formulation is to give the possibility of a future integration of the program with an explicit cfd analysis. A "`morphing wing project"' is actually the object of a main research program at the Imperial College of London. The constitutive model is referred to the unified thermodynamic constitutive model for Shape Memory Alloy (SMA) materials, based on the thermodynamic frame proposed by Boyd and Lagoudas. If the internal state variables of different constitutive model are the same, then these models can be possibly be unified under the same thermodynamic framework through the selection of appropriate forms of the hardening function. In light of this possibility three different hardening functions are presented: the exponential model proposed by Tanaka, the cosine model proposed by Liang and Rogers and the linear hardening model proposed by Lagoudas. In addiction, to capture the material response under an applied load, an extension to the constitutive model is presented referring to the variation of maximum transformation strain. The numerical implementation in a finite element scheme is presented using a return mapping integration technique, the convex cutting plane return mapping algorithm. Return mapping algorithms have been studied primarily for elastoplasticity in the integration of the constitutive relations. They are also called elastic predictor-plastic corrector algorithms in which a purely thermoelastic trial state is followed by a transformation corrector phase in the case of an SMA. The convex cutting plane implemented in this work follows the presentation of Qidwai and Lagoudas: the model is presented in a reduced formulation for one dimensional element and the subroutine follows the specifications for user material subroutine by ABAQUS. The subroutine requires a number of material parameters for the analysis (e.g. Young moduli of martensite and austenite phase, maximum transformation strain); the experimental determination of these parameters is also presented if their values are not provided by the manufacturer. Two different analysis are conducted referring to experimental thermomechanical tensile tests taken from literature. In the first case the capability of the subroutine to reproduce qualitatively the two way shape memory effect at zero stress level is shown. In the second case the validation of the constitutive model is conducted on a trained material at different levels of applied stress. Numerical results show the limitation of the subroutine in undergoing phase transformation at the same temperatures defined experimentally, while it is shown the capability to capture the maximum transformation strain.

L'argomento del presente lavoro di tesi è l'implementazione numerica di una legge costitutiva per leghe a memoria di forma nel programma a elementi finiti ABAQUS/Explicit, tramite l'implementazione di una "`User Material subroutine"' (VUMAT). Il modello di materiale è stato poi utilizzato per analizzare il comportamento di un filo di lega a memoria di forma (Nitinol) dove la trasformazione martensitica viene indotta tramite un ciclo termico: infatti l'applicazione di un attuatore di lega a memoria di forma in strutture "`smart"' è generalmente legata a trasformazioni martensitiche per livelli di carico applicato variabili e nella maggior parte di queste applicazioni il calore è generato attraverso corrente elettrica (effetto Joule). Si è scelta una formulazione esplicita per il modello costitutivo del materiale in quanto si prevede di effettuare successive analisi numeriche esplicite su un modello di "`morphing wing"', attualmente oggetto di ricerca presso l'università "`Imperial College of London"'. Il modello costitutivo si riferisce al modello costitutivo termodinamico unificato per le leghe a memoria di forma (SMAs), basato sul lavoro di Qidwai e Lagoudas (1996). Se le variabili di stato di differenti modelli costitutivi sono le stesse, tutti questi modelli possono essere ricondotti ad un unico modello termodinamico attraverso un'opportuna scelta delle funzioni di incrudimento. Alla luce di questa possibilità vengono presentati per il modello unificato tre differenti funzioni di incrudimento in relazione ai seguenti modelli: il modello esponenziale di Tanaka, il modello "`coseno"' di Liang and Rogers e il modello lineare di Lagoudas. In aggiunta, per catturare la risposta del materiale per diversi valori di carico applicati, viene presentata un'estensione del modello costitutivo per cui la massima deformazione dovuta alla trasformazione di fase risulta un parametro variabile dell'analisi. L'implementazione numerica all'interno di uno schema a elementi finiti viene ricondotta ad una tecnica di integrazione numerica detta "`return mapping"', in questo specifico caso "`convex cutting plane return mapping algorithm"'. In principio gli algoritmi "`return mapping"' sono stati introdotti per lo studio di relazioni costitutive elastoplastiche. Più comunemente vengono definiti algoritmi "`elastic predictor - plastic corrector"' nei quali ad uno stato di prova puramente termoelastico segue una fase di correzione dovuta alla trasformazione di fase del materiale (transformation corrector). L'algoritmo implementato segue le linee guida del lavoro di Qidwai e Lagoudas. Il modello è presentato in una formulazione ridotta per elementi unidimensionali mentre la scrittura della subroutine segue le specifiche del manuale di ABAQUS. La subroutine richiede in ingresso alcuni parametri meccanici e fisici del materiale (esempio : modulo di Young, deformazione massima,..); la definizione sperimentale di questi parametri viene brevemente presentata nel caso in cui questi non vengano forniti dal produttore e quindi si deve ricorrere alla loro determinazione. Vengono presentate due differenti analisi numeriche in riferimento a risultati sperimentali di test di trazione. Nel primo caso viene mostrata la capacità della subroutine di riprodurre qualitativamente il comportamento a due vie delle leghe a memoria di forma, senza che venga applicato al provino un carico di trazione. Nella seconda simulazione viene presentata la validazione della subroutine su un materiale allenato a cui vengono applicati tre diversi livelli di carico. I risultati numerici mostrano il limite della subroutine nel descrivere coerentemente il comportamento del materiale all'inizio e alla fine delle trasformazioni di fase, mentre è in grado di catturare la massima deformazione a trasformazione avvenuta.