HI-POD : hierarchical model reduction driven by a proper orthogonal decomposition for advection diffusion reaction problems

The purpose of this work is to analyze and connect a set of numerical methods that are used to solve elliptic partial differential problems. In detail we deal with the topic of model reduction, which is the pursuit of algorithms as alternatives to the traditional numerical resolution that resorts multidimensional Finite Elements. This approach is characterized by two goals: an efficient cut down of the computational cost and a restraint on loss of accuracy. It is a typical trade-off for all the methods that aim to tackle the curse of dimensionality, i.e. troubles to be faced in case of solving problems that are characterized by a huge number of degrees of freedom. This work set the sight to expose three different reduction methods: Hierarchical Model Reduction (Hi-Mod), Proper Orthogonal Decomposition (POD) and Proper Generalized Decomposition (PGD). In addition to a general presentation of the methods, it is stressed out the presence of similarities and dissimilarities between them, starting from a clear belonging to difference classes of methods: analytical methods (Hi-Mod) and algebraic ones (POD and PGD). Moreover some changes and adaptation of the approaches to cases of our interest have been done, besides an highlight on the fact that different approach become the same under restricted hypothesis that concern the analyzed model.

L’obiettivo di questo elaborato consiste nell’analizzare e mettere in relazione tra loro un insieme di metodi numerici atti alla risoluzione di problemi differenziali ellittici. Nello specifico è stato affrontato il tema della riduzione di modello, ovvero la ricerca di algoritmi alternativi alla tradizionale risoluzione numerica che ricorre ad elementi finiti multidimensionali, con un duplice scopo: abbattere il costo computazionale da un lato e contenere la perdita di accuratezza dall’altro. Questo trade-off è tipico di tutti i metodi che si propongono di affrontare la cosiddetta curse of dimensionality, ovvero l’insieme di difficoltà da affrontare nella risoluzione di problemi costituiti da un elevato numero di gradi di libertà. Il lavoro qui proposto per l’appunto si articola nell’esposizione di tre metodi di riduzione: Riduzione Gerarchica di Modello (Hi-Mod), Proper Orthogonal Decomposition (POD) e Proper Generalized Decomposition (PGD). Oltre ad una presentazione generale dei metodi stessi, vengono messe in evidenza differenze e analogie tra i vari approcci che sostanzialmente si suddividono in due principali categorie: metodi analitici (Hi-Mod) e metodi algebrici (POD e PGD). Vengono inoltre esposte modifiche e varianti dei modelli già presenti in letteratura, in modo da adattarli alle specifiche problematiche di seguito esposte, nonché per mettere in luce il collassamento di diversi approcci in un unico metodo sotto opportune ipotesi modellistiche.