On some multi-phase problems in continuum mechanics

This work discusses a series of modelling problems in continuum mechanics. The first part is devoted to the mathematical analysis of some diffuse interface models in phase separation of binary mixtures (e.g., coarsening of alloys or bistable polymeric fluids). The second part discusses the function of electronic devices (in particular p-n junctions) under mechanical deformations. The third part presents a model for lifetime predictions in polycrystalline metals under periodic loading. A typical phase separation model is the well-known model H, constructed by coupling the convective Cahn-Hilliard equation with the Navier-Stokes system through the so-called Korteweg force. Here we consider some variants of the model which account, e.g., for shear dependent viscosity or chemically reacting components. We first study basic issues like existence, uniqueness and regularity of solutions. Then we analyze the long-time behaviour of the infinite dimensional dissipative dynamical systems generated by the systems studied. More precisely, we prove the existence of global attractors, exponential attractors, pullback attractors and trajectories attractors for the corresponding dynamical systems. Also, we discuss the robustness of such invariant sets with respect to perturbations of some parameters of the model. The results obtained represent natural extensions of the properties known for single fluid flows, whose features are considered a benchmark for all new techniques proposed in the literature. Finally, as a more realistic description of phase separation phenomena, we introduce a Cahn-Hilliard equation accounting for nonlocal interactions through a singular kernel. In this case some well-posedness and regularity results are demonstrated. The second part of this work is devoted to the study of the coupling effects between mechanical and electronic properties in semiconductors. The modelling of the electronic device is based on the drift-diffusion model for electrons and holes. The device is viewed as a standard macroscopic continuum and the objective is to understand the effects of mechanical strain on the electronic properties of the semiconductor and in particular its effects on the characteristic curve of a p-n junction. This permits to propose a variational formulation of the classical drift-diffusion system and to derive a thermodynamically consistent model for the coupled electromechanical phenomena. The strain mainly influences the mobility coefficients and the generation/recombination term. Two approximate solutions are discussed, one based on only physical assumptions and one involving asymptotic expansions. This part of the work is a preliminary step towards the understanding of the properties of flexible electronic devices. The final part of the thesis presents an application of the theory of dynamical systems to predict the lifetime of polycrystalline metals undergoing a high cycle fatigue regime. A new model is proposed and compared with the existing literature.

La presente tesi prende in considerazione a una serie di problemi di modellistica che emergono in seno alla meccanica dei continui. La prima parte è dedicata all’analisi di alcuni modelli ad interfaccia diffusa per la descrizione della separazione di fase in una mistura binaria (come, ad esempio, l’accrescimento delle dimensioni dei grani in una lega o il flusso di un fluido polimerico bistabile). La seconda parte esamina il funzionamento dei dispositivi elettronici (in particolare le giunzioni p-n) sottoposte a deformazioni meccaniche. La terza e ultima parte presenta, invece, un modello per la previsione della durata di vita per metalli policristallini sottoposti a caricamento ciclico. Un tipico esempio di modello di separazione di fase è dato dal modello H, ottenuto dall’accoppiamento dell’equazione di Cahn-Hilliard convettiva con le equazioni di Navier-Stokes tramite la cosiddetta forza di Korteweg. In questo lavoro consideriamo alcune varianti del modello H che tengono conto, per esempio, di viscosità dipendenti dalla velocità di deformazione o di componenti che reagiscono chimicamente tra loro. In primo luogo sono studiate l’esistenza, l’unicità e la regolarità delle soluzioni. In seguito, consideriamo il comportamento asintotico del sistema dinamico dissipativo infinito dimensionale generato dai sistemi studiati. Più precisamente, dimostriamo l’esistenza di attrattori globali, attrattori esponenziali, attrattori pull back e attrattori di traiettorie per i sistemi dinamici associati ai sistemi studiati. Inoltre, analizziamo la robustezza di questi insiemi invarianti rispetto alla perturbazione di alcuni parametri del modello. I risultati ottenuti rappresentano estensioni naturali delle proprietà già note per il flusso di fluidi semplici, che sono considerate il riferimento rispetto a cui valutare ogni nuova tecnica proposta in letteratura. Infine, come ulteriore passo verso una descrizione più realistica dei fenomeni di separazione di fase, consideriamo una equazione di Cahn-Hilliard che tiene conto delle interazioni nonlocali tra le componenti della mistura tramite un nucleo singolare. In quest’ultimo caso, dimostriamo la buona positura del problema e alcuni risultati di regolarità. La seconda parte di questo lavoro è dedicata allo studio degli effetti di accoppiamento tra le proprietà meccaniche ed elettroniche nei semiconduttori. La descrizione dei dispositivi elettronici è basata sul modello di diffusione e deriva per elettroni e lacune e quindi il dispositivo può essere considerato come un continuo macroscopico. Il nostro obiettivo è lo studio degli effetti delle deformazioni meccaniche sulle proprietà elettroniche del semiconduttore e in particolare gli effetti sulla curva caratteristica di una giunzione p-n. Ciò permette di dedurre una formulazione variazionale del classico sistema di diffusione e deriva e di ottenere così un modello termodinamicamente consistente per i fenomeni elettromeccanici accoppiati. Le deformazioni hanno in particolare un effetto sulle mobilità e sul termine di generazione/ricombinazione dei portatori di carica. Due soluzioni approssimate sono discusse, una basata su assunzioni fisiche, l’altra sull'uso di sviluppi asintotici. Questa parte del lavoro rappresenta un passo preliminare verso la comprensione delle proprietà dei dispositivi elettronici flessibili. L’ultima parte della tesi presenta una applicazione della teoria dei sistemi dinamici al problema della predizione della durata di vita dei metalli policristallini sottoposti ad un regime di fatica policiclica ad alto numero di cicli. Un nuovo modello è proposto e confrontato con la letteratura esistente.