Mimetic Finite Difference methods for nonlinear and control problems

In this thesis we address the question of whether the Mimetic Finite Difference (MFD) method can be used to efficiently solve nonlinear and control problems. After having introduced and discussed the (primal and mixed) MFD method applied to elliptic problems, we present the mimetic approximation of an elliptic control problem. We derive a-priori error estimates in suitable discrete norms and perform several numerical examples that confirm our theoretical analysis. Next, we study the application of the MFD method to solve a nonlinear elliptic problem. We prove that the discrete problem admits a unique solution and we derive an a-priori error estimate. We then apply the Kacanov method to solve numerically the nonlinear discrete problem and show the efficacy of the algorithm through several numerical tests. Finally, we focus our attention on one of the most important manufacturing process employed in industry: the extrusion process. In this procedure, the solid material is heated beyond the melting point to be enough malleable and then it is forced by one or more screws through a special die to produce a continuous manufactured item. The numerical simulation of the extrusion process requires the solution of a free-boundary problem governed by (possibly) non-newtonian fluids. In this thesis, we apply the MFD method to nonlinear Stokes problems (simulating non-newtonian fluids) and to free-boundary problems. In particular, we address the efficacy of the method in handling the deformation of the computational domain. This is a completely new approach in the context of free-boundary problems approximation and are the main two building blocks to perform in the next future, a numerical simulation of the industrial extrusion process.

In questa tesi, analizziamo il metodo delle Differenze Finite Mimetiche (MFD) per risolvere problemi non lineari e di controllo. Dopo aver introdotto e discusso il metodo MFD (in forma primale e mista) applicato a problemi ellittici, presentiamo l’approssimazione mimetica di un problema di controllo ellittico. In questo contesto, abbiamo dimostrato stime d’errore a-priori in opportune norme discrete e diversi esempi numerici confermano la nostra analisi teorica. Nel capitolo 3, mostriamo l’applicazione del metodo MFD per risolvere un problema semilineare ellittico. Si dimostra che il problema discreto ammette un’unica soluzione, che rispetta opportune stime d’errore a-priori. Abbiamo poi applicato il metodo di Kacanov per risolvere numericamente il problema non lineare discreto e abbiamo mostrato l’efficacia dell’algoritmo proposto attraverso una serie di prove numeriche. Infine, abbiamo focalizzato la nostra attenzione su uno dei più importanti processi produttivi impiegati nel settore manifatturiero: il processo di estrusione. In questa procedura, il materiale solido viene riscaldato oltre il punto di fusione in modo da essere abbastanza malleabile e viene poi spinto da una o più viti attraverso uno stampo, al fine di produrre un manufatto continuo. La simulazione numerica del processo di estrusione richiede essenzialmente la soluzione di un problema di free-boundary governato da fluidi non-newtoniani. In questa tesi, abbiamo applicato il metodo MFD per problemi di Stokes non lineari (che modellizzano fluidi non-newtoniani ) e problemi di free-boundary. In particolare, abbiamo testato l’efficacia del metodo nel gestire la deformazione di un dominio mobile. Questi due problemi costituiscono i principali punti di partenza che ci permetteranno, nel prossimo futuro, di ottenere una simulazione numerica del processo di estrusione industriale.