Data assimilation for complex subsurface flow fields

Proper modeling of subsurface flow and transport processes is key to the solution of a wide range of engineering and environmental problems. Building a subsurface flow model requires defining the spatial distribution of the input parameters embedded in the underlying governing equations, such as permeability and porosity. Despite the key role played by these petrophysical properties when modeling aquifer and oil reservoirs, our knowledge of the way they are distributed within a domain of interest is scarce in practical applications and often characterized by a high degree of uncertainty. A well-established approach to tackle this problem is to work within a stochastic framework, in which the permeability and the porosity fields are treated as random processes of space. An inverse and/or data assimilation modeling framework is then employed for conditioning these spatial distributions relying on either direct or surrogate measurements. Among the various available inversion (or data assimilation) techniques, we focus on the Ensemble Kalman Filter (EnKF) approach. Despite its increasing popularity, there are several drawbacks that undermine the range of scenarios under which EnKF is applicable. A critical factor is the size of the ensemble, i.e., the number of MC simulations employed for (ensemble) moment evaluation. Whereas to estimate mean and covariance accurately requires many simulations, working with large ensemble sizes and assessing MC convergence is computationally demanding. Another common problem is that EnKF performs optimally only if the system variables (i.e., model parameters and state variables) can be described by a joint Gaussian distribution. Modern reservoir models require to explicitly take into account the spatial distribution of facies, which can be defined as distinctive and non-overlapping units forming the internal architecture of the host rock system and which are associated with given attributes such as porosity, permeability, mineralogy. Demarcation of diverse facies in a reservoir model is usually accomplished through indicator functions. Due to the typically non Gaussian nature of the latter, use of EnKF to update complex reservoir models can be fraught with severe challenges. Key objectives of this work are: (a) to couple EnKF with stochastic moment equations (MEs) of transient groundwater flow to circumvent and alleviate problems related to the finiteness of the ensemble employed in the traditional MC-based EnKF; and (b) to develop an assimilation algorithm that is conducive to conditioning on a set of measured production data the spatial distribution of lithofacies and of the associated petrophysical properties for a collection of hydrocarbon reservoirs.

La corretta modellazione dei fenomeni di flusso e trasporto nei mezzi porosi è di estrema rilevanza per affrontare e risolvere efficacemente una notevole quantità di problemi ingegneristici ed ambientali. La realizzazione di un modello di flusso e trasporto sotterraneo richiede la definizione della distribuzione spaziale dei parametri contenuti nelle equazioni che governano il fenomeno in esame, tipicamente costituiti da permeabilità e porosità. Tale distribuzione è generalmente caratterizzata da un’elevata incertezza. In questo contesto, si rende necessario l’utilizzo di un modello probabilistico, in cui i parametri del sistema sono trattati come dei processi stocastici eventualmente condizionati sulla base delle misure disponibili tramite tecniche di modellazione inversa o di assimilazione dati. Tra le numerose metodologie descritte in letteratura, in questo lavoro si è utilizzata una tecnica denominata "Ensemble Kalman Filter" (EnKF). Nonostante la sua crescente popolarità, ci sono diversi aspetti negativi che limitano lo spettro di applicabilità di EnKF. Tradizionalmente EnKF richiede l’utilizzo di un approccio Monte Carlo (MC) per generare un insieme di realizzazioni del processo stocastico in esame. Un fattore critico è costituito dal numero di realizzazioni MC utilizzato per approssimare i momenti statistici delle variabili di interesse. Se infatti da un lato è necessario utilizzare un elevato numero di realizzazioni per ottenere una buona stima di medie e covarianze delle quantità analizzate, l'onere computazionale richiesto può impedirne l'utilizzo in applicazioni di interesse pratico. Inoltre EnKF fornisce risultati ottimali solo se le variabili del sistema (i.e., parametri del modello e variabili di stato) possono essere descritte da una distribuzione Gaussiana multinormale mentre la realtà del sottosuolo è generalmente complessa e modelli realistici devono considerare la presenza di diverse facies, ovvero di distinte unità geologiche ciascuna caratterizzata da peculiari proprietà mineralogiche e petrofisiche. La distribuzione spaziale delle facies, tipicamente descritta utilizzando funzioni indicatrici, influenza considerevolmente il comportamento dinamico del sistema. A causa della natura non-Gaussiana delle funzioni indicatrici, utilizzare EnKF per aggiornare la distribuzione spaziale delle facies è, nella maggior parte dei casi, fonte di errore. I principali obiettivi di questa tesi sono: (a) integrare all’interno di procedure EnKF le equazioni stocastiche dei momenti del flusso sotterraneo per ovviare all'utilizzo di tecniche MC; e (b) sviluppare un algoritmo in grado di condizionare la distribuzione spaziale delle facies e delle loro proprietà petrofisiche utilizzando dati di produzione.