Mathematical and numerical modeling in geodynamic applications

Plate tectonics is a theory that describes the evolution of Earth's lithosphere. The lithosphere is broken up in a set of regions called plates moving on the fluid-like asthenosphere; due to this motions earthquakes, volcanic activity and orogeny occur along plates boundaries. The relative motions of plates determine the type and the surface phenomena occurring along boundaries; three different types of boundaries exist: transform, divergent and convergent. Oceanic rift processes are due to divergent plates which are moving away from each other and the asthenospheric mantle rises up creating new oceanic crust. These regions are particularly interesting for studying interaction between lithosphere and asthenosphere. During the last years the amount of available data on mid-ocean ridge increases providing evidences on the fact that symmetry of mid-ocean ridge is less common than originally believed; in particular asymmetries have been observed in the seafloor depth and in the subsidence rate of the ridge flanks. Recent studies have shown that the rift zone and the plates are moving with respect to the underlying asthenospheric mantle, this process has been considered as one of the possible explanation of such asymmetries. The aim of this thesis is the development of advanced mathematical and numerical models for the simulation of geodynamic processes, in particular the migration of the mid-ocean ridges and the induced asymmetries. Both heuristic explanations and mathematical models have been proposed in order to show the relationship between the migration processes and ridge asymmetries. In this work a rigorous dimensional analysis is performed in order to define the proper mathematical models; some simplifications based only on scale analysis (using direct measurements) are introduced. Moreover novel numerical techniques are proposed for the solution of the viscous and elastic problems arising in the numerical simulation of geodynamic processes; in particular we deal with: preconditioning techniques of Darcy and Stokes problem with highly variable coefficients, arbitrarily high order geometric integrators for the nonlinear elastic problem. The outline of the thesis is as follows: the first chapter presents an overview of the plate tectonics theory, the knowledge of the main details of such theory is necessary in order to develop a suitable mathematical model of the geodynamic processes. In the second chapter a mathematical model which describes the mid-ocean ridges is presented; in order to justify the simplifications introduced in our model we start from a dimensional analysis then we use the results of this analysis to define a multiscale model. In the third chapter we illustrate a novel preconditioning technique for the Darcy and Stokes problem with highly variable parameters, some test cases are presented to show the effectiveness of the proposed technique. The last chapter is devoted to Galerkin variational integrators and the application of such methods to the nonlinear elastic problem; this is a part of a preliminary work on the extension of the previous models to the continental margin.

La tettonica delle placche è una teoria che descrive l'evoluzione della litosfera terrestre, che viene considerata divisa in regioni chiamate placche, le quali si muovono sull'astenosfera fluida. I moti relativi tra le placche sono la causa di terremoti, attività vulcanica e orogenesi che avvengono lungo i loro margini. I margini possono essere classificati sulla base del moto relativo tra le placche e sono di tre tipi differenti: trasformi, divergenti e convergenti. La natura dei margini determina i fenomeni che vengono osservati sulla superficie. I rift oceanici caratterizzano i margini divergenti, durante la distensione il mantello sottostante risale e mette in posto nuova crosta oceanica. Queste regioni vengono studiate con grande attenzione dato che permettono di avere informazioni sull’interazione tra litosfera e astenosfera. Negli ultimi una quantità sempre maggiore di misure sperimentali ha permesso di osservare che le dorsali oceaniche presentano asimmetrie apprezzabili: ad esempio tali asimmetrie si osservano nella topografia del fondale oceanico e nei tassi di subsidenza dei fianchi della dorsale. Studi recenti hanno anche mostrato che tali strutture si muovono rispetto al mantello astenosferico sottostante, tale dinamica è considerata una delle possibili cause delle asimmetrie osservate. Lo scopo di questa tesi è quello di sviluppare gli strumenti matematici e numerici per la modellazione dei processi geodinamici, in particolare la migrazione delle dorsali oceaniche e le asimmetrie indotte da tale processo. In letteratura sono presenti sia spiegazioni euristiche che modelli matematici che mostrano la relazione tra la migrazione e le asimmetrie. In questo lavoro è stata svolta un’analisi dimensionale rigorosa per introdurre un modello matematica adeguato; nel quale le semplificazioni necessarie fossero giustificate da un’analisi di scala. Inoltre nuove tecniche sono state proposte per la soluzione numerica di tali modelli, in particolare sono stati affrontati problemi con reologia viscosa e elastica distintamente. In particolare verrà affrontato il precondizionamento dei problemi di Darcy e Stokes con coefficienti altamente variabili e discontinui; la costruzione di integratori geometrici di ordine arbitrariamente alto per problemi di elasticità non lineare. Nel primo capitolo viene presentata una panoramica della teoria della tettonica delle placche, la conoscenza dei principali dettagli di tale teoria è necessaria per poter sviluppare un modello matematico adeguato per descrivere i processi geodinamici. Nel secondo capitolo è introdotto un modello matematico per le dorsali oceaniche; è stata condotta un’analisi dimensionale rigorosa per giustificare le semplificazioni introdotte nel modello, la stessa analisi ha permesso di definire un modello multiscala del fenomeno. Nel terzo capitolo è stata sviluppata una tecnica di precondizionamento per i problemi di Darcy e Stokes con coefficienti altamente variabili e discontinui; sono presentati alcuni esperimenti numerici allo scopo di mostrare l’efficacia della tecnica proposta. L’ultimo capitolo è dedicato agli integratori variazionali di tipo Galerkin e la loro applicazione ai problemi di elasticità non lineare; esso è parte di un lavoro preliminare sui modelli dei meccanismi estensivi in crosta continentale.