Anisotropic mesh adaptation driven by a recovery-based goal oriented error estimator applied to the linearized shallow water equations

When numerical modeling meets practical applications, the need of compu- tational power is often a limiting constraint. Mesh adaptivity is a classical way to reduce simulations costs, but it is not trivial to find the most suitable implementation. In this thesis we discuss an algorithm for mesh adaptaion based on an a posteriori error estimator that is problem-dependent. An op- timization process driven by said estimator produces information regarding the desired direction and elongation of each element in the grid. Thanks to this feature our procedure is able to generate higly anisotropic meshes, that closely follow the interesting traits of the solution. The task of chosing which are those regions is performed with the aid of the dual problem, since one can define its right hand side as an objective function depending on the user requirements, and this strategy represents the basis of the so called goal-oriented approach. One of the most important fields for this kind of methods is Computational Fluid Dynamics, and the shallow water equations certainly have a key role in this modeling area. An interesting application is the computation of the optimal layout of an array of turbines in a tidal farm, developed by the AMCG group at Imperial College London. Consid- ering the cost of energy and the actual interest for renewable technologies, exploiting oceanic turbines in order to extract power from tidal motion is an appealing target also under an economic point of view. In the present study we analyze the mesh adaptation algorithm step by step, stressing how its parameters determine the final result and how they can be tuned to improve it. For every substep in our procedure, we discuss various implementation alternatives with related advantages and drawbacks, clarifying them with practical examples. To this purpose, the first numerical tests will be run on an advection diffusion reaction model probem that emphasizes various key aspects of our method. We verify some known property of the estimator, and we suggest additional features that are capable of reducing computa- tional costs even more. The adaptive method will be then applied to a linearized, steady version of the shallow water equations, representing water flow in a channel containing a turbine. We will highlight the differences with the outcomes of the ADR example, ultimately showing the meshes obtained driving adaptivity with the extracted power, and other functionals. Most of the code is written in python using FEniCS software as a finite element environment and solver.

Quando la modellistica numerica incontra un’applicazione pratica, la neces- sità di potenza computazionale è spesso un fattore limitante. L’adattività di griglia è una tecnica classica finalizzata a ridurre i costi di una simulazione, ma non è banale scegliere il metodo più adatto da implementare. In que- sto lavoro proponiamo un algoritmo basato su uno stimatore dell’errore a posteriori la cui forma dipende dal problema in esame. Tramite una proce- dura di minimizzazione possiamo estrarre dallo stimatore delle informazioni dettagliate sulla forma desiderata di ogni elemento della griglia. Il nostro metodo è dunque in grado di generare delle mesh altamente anisotrope, che seguono le caratteristiche direzionali interessanti della soluzione. Per deter- minare quali siano questi tratti ci appoggiamo al problema duale sfruttando la strategia goal-oriented, che si basa sulla scelta del termine noto duale come funzionale definito dall’utente. Uno dei campi più importanti per l’ap- plicazione di questo tipo di metodi è la fluidodinamica computazionale, e le equazioni delle acque basse occupano un importante ruolo in quest’area modellistica. Un’interessante applicazione è il calcolo della disposizione otti- male di un insieme di turbine in un bacino oceanico, sviluppato dal gruppo AMCG presso l’Imperial College di Londra. Se si considera il costo del- l’energia e l’attuale interesse per le tecnologie rinnovabili, impiegare delle turbine per estrarre energia dal moto delle maree è un obiettivo affascinante anche sotto un punto di vista economico. In questo studio analizziamo passo passo l’algoritmo adattivo, enfatizzando come i suoi parametri influiscano sul risultato finale e come possano essere scelti per migliorarlo. Per ogni step presentiamo diverse alternative di implementazione evienziandone i punti di forza e debolezza con prove pratiche esemplificative. A questo scopo i primi test numerici sono svolti su un problema di diffusione trasporto reazione che si presta a sottolineare vari aspetti chiave del nostro metodo. Verifi- chiamo qui alcune proprietà note dello stimatore, ne mostriamo di nuove, e proponiamo dei miglioramenti di alcuni passaggi dell’algoritmo finalizza- te a ridurre ulteriormente l’onerosità computazionale. La procedura viene dunque applicata ad una versione linearizzata e stazionaria delle equazio- ni delle acque basse rappresentante il flusso d’acqua in un canale contente una turbina. Mostriamo e motiviamo le differenze con gli esiti dell’esempio DTR, e riportiamo infine i risultati ottenuti basando l’adattazione su diversi funzonali, tra cui la potenza estratta. La maggior parte del codice è scritta utilizzando FEniCS come ambiente per elementi finiti e come solutore.