Isogeometric simulation of the perfusion characteristic in the liver tissue

In the last decades, the biomedical relevance of mathematical models has been demonstrated and comparison of experiments against computer simulations has been encouraged. Blood circulation in the human liver and in particular perfusion, the process of delivering blood to the capillary bed, is still an open problem and the literature presents several approaches to solve it: the macroscale model, in which a Darcy flow is solved, assumes the liver as a homogeneous anisotropic porous medium; in the microscale model the vascular domain is separated from the extravascular one through interface boundary conditions and a Stokes ow is solved in each domain. In this Master Thesis, we introduce an approach which employs interior penalty to simulate a Darcy-Stokes flow on the entire computational domain, and distinguishes between areas of diff erent material through a friction coefficient, so that we simulate fl ow at the capillary scale avoiding edge detection, and using a Cartesian mesh. We make use of image interpolation methods to process micro-CT images of the liver and determine the friction coe fficient in the whole domain. The first part of the work is devoted to the theoretical description of the problem: after an introduction to the physiology of the liver and its perfusion characteristic, we present the mathematical model, its discretization and some theoretical results about the convergence of the analytical and numerical solution. An explanation on the techniques of image interpolation and an overview on the Isogeometric Analysis are provided to show their most basic concepts. In the second part, after validating the numerical method on 2D and 3D test cases, we test it on geometries obtained by interpolation of images artifi cially created, and finally we apply it on a geometry reconstructed from medical images of the liver lobule. The Matlab code implemented for this purpose makes use of GeoPDEs, a suite of software tools for applications on Isogeometric Analysis, and it is documented in the Appendix.

Negli ultimi decenni non solo è stata chiaramente dimostrata la rilevanza in campo biomedico di modelli matematici e simulazioni numeriche, ma il confronto tra dati sperimentali e numerici è stato fortemente incoraggiato. Il problema della circolazione del sangue nel fegato umano ed in particolare della sua perfusione, ovvero quel processo che descrive il flusso del sangue attraverso il letto capillare, è ancora aperto. Per risolvere questo problema la letteratura propone diversi approcci: il modello macroscala, che risolve un flusso di Darcy trattando il fegato come un mezzo poroso omogeneo ed anisotropo; il modello microscala, che propone un approccio multidominio in cui le equazioni di Stokes sono risolte sia nel dominio vascolare che in quello extravascolare. L'idea alla base di questa Tesi Magistrale è simulare un flusso di Darcy- Stokes sull'intero dominio computazionale, introducendo una penalizzazione che permette di distinguere tra la parte fl uida e quella extravascolare sfruttando la discontinuità (o il forte gradiente) di un coeffi ciente di attrito. Evitiamo, dunque, un approccio a simulazione diretta, ma siamo in grado di simulare il flusso alla scala dei capillari, utilizzando una griglia di calcolo Cartesiana non adattata alla complessa geometria dei vasi. Utilizziamo inoltre metodi di interpolazione su immagini micro-TC, impiegate nella determinazione del coe fficiente di attrito. Nella prima parte di questo lavoro viene fornita una descrizione teorica del problema: dopo un'introduzione sulla fisiologia del fegato e sulla sua caratteristica di perfusione, vengono presentati il modello matematico, la sua forma variazionale ed i principali risultati riguardo alla convergenza della soluzione analitica e numerica. Viene poi presentata una panoramica sulle tecniche di interpolazione di immagini e sull'Analisi Isogeometrica, con lo scopo di chiarirne i concetti di base. Nella seconda parte, dopo aver validato il metodo su casi test 2D e 3D, lo testiamo su domini ottenuti tramite interpolazione di immagini create arti ficialmente e, per concludere, su una geometria tratta da vere immagini mediche del fegato. Il codice Matlab implementato a tal proposito utilizza GeoPDEs, un pacchetto software finalizzato all'ausilio nelle applicazioni di Analisi Isogeometrica, ed è documentato in Appendice.