Problema di controllo LQ a coefficienti stocastici : equazione di Riccati backward e sistema FBSDE

First of all the purpose of this thesis is to collect and rearrange some results about Forward-Backward stochastic systems (FBSDE systems) and Linear-Quadratic control problem (LQ problem). The first part gives a presentation of the most known resolution methods for FBSDE systems, i.e. the Four Step Scheme and the Method of Continuation. Subsequently, the structure of a general stochastic optimal control problem is described and the Linear-Quadratic problem is analyzed in detail. The study mainly concerns the case with stochastic coefficients in both state equation and cost functional. Then the Riccati equation is introduced. It is an equation classically associated to the LQ control problem and whose solution is directly related to the expression of the feedback optimal control. Most of the results introduced by Tang in 2003 are displayed in-depth. The base of his work is the possibility of approaching the LQ problem through a necessary and sufficient condition for the optimal control which is linked to a FBSDE system. The resolution of this system isn’t based on classical methods, for this reason an appropriate existence and uniqueness theorem is demonstrated and used. It is shown, in particular, that there is an equivalence between approaching the problem through the FBSDE system or via Riccati equation. This relationship is exploited in the final part of the thesis, dealing with the infinite horizon case. The definition of solutions of infinite horizon Riccati equation and FBSDE system are given. From the result, already known, of existence of a minimal solution of the infinite horizon Riccati equation it is possible to obtain a solution of a particular infinite horizon FBSDE system. This result seems significant because it opens the way for further studies in this area which hasn’t been explored in a satisfactory manner yet.

L’obiettivo di questa tesi è prima di tutto raccogliere e riordinare alcuni risultati che riguardano i sistemi Forward-Backward (FBSDE) e il problema di controllo Lineare-Quadratico (LQ). Una prima parte è dedicata alla presentazione dei metodi più noti di risoluzione dei sistemi FBSDE, ovvero lo Schema a Quattro Passi e il Metodo di Continuazione. In seguito viene descritta la struttura di un problema di controllo ottimo stocastico generico, per poi passare ad analizzare nel dettaglio il problema Lineare-Quadratico. Lo studio riguarda principalmente il caso in cui i coefficienti della relativa equazione di stato e del funzionale di costo sono stocastici. Viene quindi introdotta l’equazione di Riccati, che viene classicamente associata al problema di controllo LQ, la cui soluzione è direttamente legata all’espressione feedback del controllo ottimo. Vengono presentati e approfonditi gran parte dei risultati introdotti da Tang nel 2003. Alla base del suo lavoro sta la possibilità di approcciare il problema LQ basandosi su una condizione necessaria e sufficiente per il controllo ottimo legata a un sistema FBSDE. La risoluzione di tale sistema non si basa sui metodi classici, ma viene dimostrato e utilizzato un opportuno teorema di esistenza e unicità. Si mostra in particolare che c’è un’equivalenza tra l’approccio del problema tramite sistema FBSDE oppure tramite equazione di Riccati. Questa relazione viene sfruttata nella parte finale della tesi in cui viene trattato il caso a orizzonte infinito. Si definiscono i concetti di soluzione dell’equazione di Riccati e di un sistema FBSDE a orizzonte infinito. A partire dal risultato, già noto, di esistenza di una soluzione minimale dell’equazione di Riccati a orizzonte infinito si riesce a ricavare una soluzione di un particolare sistema FBSDE a orizzonte infinito. Questo risultato sembra significativo in quanto apre la strada a ulteriori studi riguardanti quest’ambito che ad oggi non è stato ancora esplorato in maniera soddisfacente.