A foreshortening formulation for flexible structures undergoing large overall motions

The modeling of flexible structures undergoing large overall motions has been deeply studied in the last decades due to the push toward lighter mechanical components with higher performance. A broad class of engineering problems can be included among the objects of this research topic: spacecraft with flexible appendages (antennas/solar arrays), robotic manipulators, machineries with rotating parts, rotor blades, etc. are examples relevant both to the aerospace and the robotics field. The flexibility of the system may have a significant effect on the global motion of the structure and interfere with the target operation. Thus the identification of the correct dynamic characteristics is fundamental to design properly the components and to obtain reliable results in the simulation environment. A mechanical system, composed by one or more flexible bodies attached to a rigid hub is the target model under investigation in this thesis. The flexible components considered are modeled as straight beams or rectangular plates due to importance of such element in structural analysis, also for the preliminary design. The system is undergoing both a large overall translation and a rotation, as well as small deformations around the undeformed configuration, as it often happens in many practical applications. The main modeling approaches available in literature have been reviewed to select the best method to solve the problem under investigation. Among them, the so-called “foreshortening approach” has been chosen as the best candidate in terms of accuracy, reliability and efficiency, as confirmed by several research papers. This method allows to keep a linear formulation in the elastic coordinates while including the geometric stiffening effect due to the overall motion, which is not captured by the classic linear Cartesian approach according to which the motion is decomposed into a large rigid motion of a floating frame attached to the body and linear elastic deformations around the undeformed configuration. This approach may overpredict the deformations and provide erroneous results under certain conditions, as demonstrated by several authors. A quite large part of this work has been devoted to show the reasons for which the classic method, although promising from the point of view of the efficiency, is not able to capture the proper dynamics. A method to estimate the reliability range of the classic approach has been presented. The major contribution of this thesis is the development of a new formulation, based on the foreshortening approach. With respect to the classic linear formulation, few terms must be added which take into account the motion-induced stiffness. Implemented in a numerical code, it has been applied to perform transient analysis, in which a central rigid body is accelerated by an imposed spin up law, to compute the deformations induced on the flexible components. Furthermore it has been exploited to evaluate the modal characteristics of cantilever beams and plates in different configuration when rotating at a constant velocity around a fixed axis. The results, whenever possible, have been compared with the solutions available in the reference literature to assess the reliability of the proposed formulation. The coupling between rigid body and deformation modes, for which a few studies exist in literature, has been analyzed through a numerical example. An eigenvalue analysis, based on a reduced order model of a beam rotating at constant speed, has been conducted in order to estimate the stability range of the system in terms of the angular velocity and other relevant parameters.

La modellizzazione di strutture deformabili soggette a grandi movimenti è un argomento che è stato molto studiato negli ultimi anni, data la tendenza a progettare componenti meccanici sempre più leggeri e con requisiti di performance sempre più elevati. Un'ampia classe di problemi ingegneristici, rilevanti sia per il campo aerospaziale che della robotica, rientrano all'interno di questo ambito di ricerca. Si possono citare, a titolo d'esempio, satelliti con appendici flessibili, robot manipolatori, macchinari con parti rotanti, pale dei rotori, ecc.. La flessibilità del sistema può avere un impatto significativo sia sul moto globale che sull'operatività stessa del sistema. In questo contesto, la possibilità di stimare correttamente le caratteristiche dinamiche è fondamentale sia in fase di progetto che di simulazione. Il sistema di riferimento studiato in questo lavoro è composto da uno o più corpi deformabili vincolati ad un corpo rigido principale, non connessi tra di loro. I componenti flessibili considerati sono travi e piastre, data la rilevenza in ambito strutturale di questi elementi anche per la progettazione preliminare. Il sistema è soggetto ad un moto globale ampio, sia di traslazione che di rotazione, mentre si assumono piccole deformazioni rispetto alla configurazione indeformata, come spesso avviene nella pratica. I principali approcci sviluppati in letteratura sono stati considerati per scegliere il metodo più adatto a risolvere il problema oggetto di questo lavoro. La scelta è ricaduta sull'approccio noto come “foreshortening approach”, valutando l'accuratezza, l'affidabilità e l'efficienza di questo metodo, come confermato da diversi articoli presenti in letteratura. In particolare questo approccio, mantenendo una formulazione lineare nelle coordinate elastiche, permette di cogliere l'effetto di irrigidimento della struttura dovuto al moto globale (effetto geometrico non lineare), che invece non viene colto dal cosidetto “approccio classico Cartesiano lineare”. Secondo quest'ultimo, il moto del corpo è decomposto nel moto rigido di un sistema di riferimento solidale e piccole deformazioni elastiche rispetto alla configurazione indeformata. Sotto opportune condizioni, questa soluzione può portare a risultati sbagliati e a sovrastimare le deformazioni, anche in maniera significativa, come dimostrato da diversi articoli. Una parte rilevante del lavoro è stata dedicata all'analisi dei motivi per cui l'approccio classico, seppur promettente dal punto di vista dell'efficienza, non è in grado di descrivere correttamente la dinamica. Viene presentato un metodo per stimare le condizioni in cui il metodo può comunque essere ritenuto accettabile. Il cuore del lavoro è la proposta di una nuova formulazione, basata sull'approccio foreshortening. Rispetto alla formulazione classica vengono aggiunti pochi termini che tengono conto dell'irrigidimento dovuto al moto. Implementata in un codice numerico, ha permesso di effettuare analisi di transitori, in cui il corpo rigido principale è accelerato con una legge di moto assegnata, per calcolare le deformazioni delle componenti flessibili. Inoltre è stato possibile valutare le caratteristiche modali di travi e piastre che ruotano a velocità costante attorno ad un asse fisso e in varie configurazioni spaziali. I risultati ottenuti sono stati confrontati con quelli presenti in letteratura per attestare la validità del metodo proposto. Si è anche studiato l'effetto delle deformazioni sul moto globale, assumendo imposta la coppia applicata al corpo rigido. Infine è stata effettuata un'analisi agli autovalori, basata su un modello di ordine ridotto di una trave rotante a velocità costante, al fine di valutare l'intervallo di stabilità, in termini di velocità angolare e degli altri parametri rilevanti.