Ottimizzazione delle strategie di investimento in presenza di regime switching con informazione completa e parziale

In scientific literature, among the countless financial problems, portfolio optimization surely plays a role of primary importance and it's a matter which has been faced since the '50s and is still subject to constant and deepening studies. This evolution has happened in line with the necessity to be more realistic as time passes, accordingly moreover to the growth of different and more and more complex financial derivatives, which may be taken into consideration in the process of portfolio optimization. With more and more awareness it is possible to comprehend how few certain information (if not even absent) is available on which to go by in order to face (and overcome) all the problems that we face every day confronting with the market and its (unpredictable) courses. In this paper we will consider a classic financial problem, such as portfolio optimization, starting from the basic results obtained by Merton, with the further assumption of a regime-switching, by which we mean the possibility of a jump from a regime (or state) of the economy to another one. Particularly it is our intention, as keystone of this work, to study and consequently compare the case of portfolio optimization with complete information and partial information. We keep in mind that we will define partial information the case in which expected returns of the risky asset taken into consideration for the portfolio optimization depend on an economic variable which is not observable, whereas with complete information we'll define the perfect knowledge of those expected returns (by which we mean that the drift coefficients of the risky asset will be constant and known parameters in both economic states taken into consideration). In order to fulfil this comparison with a qualitative and quantitative analysis we will implement, using Matlab®, a Monte Carlo method to solve both problems. In the introduction we present the problem and the objetives of this paper. In Chapter 1 we recall some fundamental elements of probability and numerical methods, of mathematical and computational finance, contingent to the comprehension of the work carried out in this paper, with an effort of simplification and clarity owed and, we hope, succeeded. In Chapters 2 and 3 we will face the most important part of the problem. Specifically: • Chapter 2 is dedicated to the solution of the portfolio optimization with a consumption process and regime-switching in both cases of complete and partial information, with the ensuing comparison of the optimal strategies obtained for t = 0 and supposing that the agent's utility function is a power utility; • Chapter 3 is focused, instead, on the solving process of the problem with partial information considering time evolution of the processes concerned. In particular we will mend the previous developed numerical resolution of the partial information case, studying the behaviour of the variables we use, taking into consideration approaching the time horizon T chosen. This analysis will require a computational process much weightier and more attentive. The same will be done for the problem with complete information, paying particular attention to the possibility of a switch between one state or regime to another. We keep in mind that even in this Chapter the agent's utility function is of a power form; • in Chapter 4 we will try to consider the possibility of considering another utility function. Specifically we will study the logarithmic utility; • Chapter 5 gathers, finally, conclusions of this paper and possible remarks on the results obtained, remembering the very first objectives of the work carried out and emphasizing matters which may be still open and, maybe in future, to be faced and developed. In Appendix A we report the Matlab® codes written and used for the numerical resolution of the problems.

In letteratura, tra gli innumerevoli problemi di natura finanziaria, sicuramente l’ottimizzazione di portafoglio ricopre un ruolo di primaria importanza. Tale questione è stata affrontata fin dagli anni ’50 ed è tuttora soggetto di continui studi e approfondimenti. Questa evoluzione è avvenuta in linea con la necessità di essere sempre maggiormente realistici e conformemente altresì alla nascita di diversi e sempre più complessi strumenti finanziari, che possono quindi essere presi in considerazione nella costruzione di un portafoglio ottimo. Sempre con maggiore consapevolezza si può comprendere come vi siano poche informazioni certe (se non addirittura quasi nulle) sulle quali basarsi al fine di affrontare (e superare) i problemi che ci si pone ogni giorno confrontandosi con il mercato e i suoi (imprevedibili) andamenti. In questo lavoro si considererà un tipo di problema classico, quale è l’ottimizzazione di portafoglio, partendo dai risultati base ottenuti da Merton, con l’ipotesi aggiuntiva di un eventuale regime-switching, ossia della possibilità di un salto da un regime (o stato) economico ad un altro. In particolare ci proponiamo, come cuore di questo lavoro, di studiare, e conseguentemente confrontare, un caso di ottimizzazione di portafoglio rispettivamente a informazione completa e parziale. Con informazione parziale definiremo il caso in cui i rendimenti attesi dell’asset rischioso che viene considerato per la risoluzione dell’ottimizzazione di portafoglio dipendano da una variabile economica non osservabile, mentre con informazione completa s’intenderà la conoscenza di tali rendimenti attesi (quindi i coefficienti di drift dell’asset rischioso saranno dei parametri costanti noti in entrambi i regimi economici che andremo a considerare). Al fine di poter effettuare tale confronto a livello sia quantitativo che qualitativo verrà implementato, tramite il programma Matlab®, un metodo Monte Carlo per la risoluzione di entrambi i problemi. Nell’introduzione, viene presentato il problema e gli obiettivi da perseguire. Nel Capitolo 1 verranno richiamati quindi alcuni elementi fondamentali di probabilità e metodi numerici, di finanza matematica e computazionale, indispensabili per la comprensione del lavoro svolto, con il tentativo di semplificazione e chiarezza dovuto e si spera riuscito. Nei Capitoli 2 e 3 verrà affrontata la parte più corposa del problema che ci siamo posti. Nello specifico: • il Capitolo 2 è dedicato alla risoluzione del problema di ottimizzazione di portafoglio con consumo e regime-switching nel caso ad informazione completa e parziale, con conseguente confronto delle strategie ottime ottenute per t = 0 e ipotizzando che la funzione d’utilità dell’agente sia di “tipo” potenza; • il Capitolo 3 è dedicato, invece, alla risoluzione del problema ad informazione parziale considerando, però, l’evoluzione temporale dei processi considerati. In particolare, si migliorerà la precedentemente sviluppata risoluzione anche numerica del caso ad informazione parziale studiando il comportamento delle variabili in gioco man mano che ci si avvicina all’orizzonte temporale T scelto. Questa analisi richiederà un processo di computazione maggiormente oneroso e attento. Viene altresì svolto lo stesso lavoro sul problema ad informazione completa, facendo particolare attenzione alla possibilità di switch tra uno stato/regime all’altro. Ricordiamo che anche in questo Capitolo la funzione d’utilità sarà di “tipo” potenza; • nel Capitolo 4 verrà presa in considerazione la possibilità di considerare una differente funzione d’utilità. In particolare verrà studiata quella logaritmica; • il Capitolo 5 racchiude, infine, le conclusioni del lavoro svolto ed eventuali riflessioni sui risultati ottenuti, a partire da quali obiettivi abbiano spinto lo sviluppo della tesi, e questioni interessanti ancora aperte e, magari in futuro, da affrontare e sviluppare. Nell’Appendice A si riportano i codici Matlab® utilizzati per la risoluzione numerica dei problemi.