Numerical modelling of ventricular mechanics : role of the myofibre architecture

The heart is a complex organ whose function is to pump oxygenated blood through the network of arteries and veins; given its vital role, the understanding of the main functional and structural features of the cardiac muscle is a key element for the identification of common cardiac diseases. The cardiac tissue is characterized by a rather complex microstructure: it is composed of a helical network of muscle fibres, called myocytes, which are organized into laminar structures separated by cleavage planes. The understanding and the proper reproduction of the fibrous architecture is essential for a correct mechanical modelling of the cardiac muscle. In this work, we focus on the left ventricle, which is the most important chamber in the heart, and we consider the Holzapfel-Ogden model for the passive cardiac tissue, which is assumed to be an incompressible orthotropic hyperelastic material; on the other hand, the contraction of the muscle fibres is enconded in the mathematical formulation using an active strain approach. Based on a simplified prolate geometry for the left ventricle, we provide a numerical solution for the variational formulation associated to the pressure-volume loop. A great emphasis is placed on the modelling of the myocardial microstructure: as a matter of fact, the transmural variation of the fibre angle has a notable impact on the stress distribution inside the cardiac wall; moreover, it can influence the cardiac functionality in a significant way, improving or decreasing its efficiency and altering the ventricular shortening and twitch during the cardiac cycle. We also discuss the role of the presence of the transverse fibre angle, which induces a mechanical coupling bewteen the sub-endocardial and sub-epicardial layers, and we evaluate the effects of the organization of myofibres into laminar structures. Furthermore, we investigate two additional modelling and mathematical issues: first, we analyse the influence of the second strain invariant in the mechanical model, which is usually neglected; then, we propose some possible modifications to standard boundary conditions, in order to take into account the effects of the surrounding anatomy of the ventricle.

La meccanobiologia è un campo di ricerca in forte sviluppo che si occupa dello studio del comportamento meccanico dei tessuti viventi, e costituisce il legame tra biologia ed ingegneria. Il cuore è un organo complesso, la cui funzione fondamentale è di pompare il sangue ossigenato attraverso il sistema circolatorio, costituito da vene ed arterie. Dato il suo ruolo vitale, la comprensione delle principali caratteristiche funzionali e strutturali del muscolo cardiaco è un elemento chiave per l'identificazione delle più comuni patologie cardiache. Nuovi modelli basati sulla meccanica dei continui, tecniche di visualizzazione avanzata e moderni strumenti per il calcolo numerico possono fornire una migliore comprensione della complessità del miocardio e guidare lo studio di nuove strategie per il trattamento delle patologie cardiache. Nella nostra trattazione, l'attenzione viene posta sul ventricolo sinistro, che è la ca-mera più importante del cuore ed è responsabile del pompaggio del sangue ossigenato attraverso la rete di arterie. La microstruttura del ventricolo è piuttosto complessa, in quanto è composto da una rete elicoidale di fibre muscolari, che sono a loro volta organizzate in strutture laminari, chiamate fogli. La configurazione di fibre del ventricolo può essere interamente descritta dalla definizione di due angoli, l'angolo elicodale e l'angolo trasverso, che determinano compiutamente l'orientamento del campo di fibre in ogni punto del ventricolo. Numerose ricerche di natura istologica sono state effettuate al fine di determinare la configurazione di fibre nel muscolo cardiaco, ma i risultati riportati nella letteratura risultano essere frequentemente in disaccordo. Lo scopo principale di questa tesi è di analizzare in modo completo come diverse configurazioni microstrutturali influiscono sulla meccanica e sull'efficienza del ventricolo: a questo fine, ci serviamo di una serie di indicatori fisiologici, ovvero quantità meccaniche e geometriche che definiscono in modo sintetico la funzionalità del ventricolo durante il ciclo cardiaco. Dal punto di vista meccanico, il tessuto cardiaco è un materiale incomprimibile, iperelastico e ortotropo: di conseguenza, la relazione tra deformazione e sforzo viene descritta da una appropriata funzione densità di energia di deformazione. In questa tesi, viene utilizzato il modello proposto da Holzapfel e Ogden, basato su un insieme di invarianti ridotto e su uno splitting additivo dell'energia di deformazione, in cui ogni termine presenta una dipendenza esponenziale dal corrispettivo invariante. E' ovviamente necessario codificare il comportamento attivo delle fibre muscolari, in quanto il loro accorciamento determina direttamente la contrazione cardiaca: per inserire questa caratteristica modellistica, vengono proposti due differenti approcci, ovvero active stress e active strain, dei quali soltanto il secondo viene utilizzato nel modello. Successivamente, viene proposta un'approssimazione numerica del ciclo cardiaco, che porta a un problema di punto-sella non lineare, risolvibile tramite l'applicazione del metodo di Newton. Dopo aver definito un'opportuna mesh computazionale, il problema in esame può essere risolto tramite il metodo degli elementi finiti, utilizzando opportuni spazi finito-dimensionali; questo metodo è stato implementato utilizzando il software FEniCS per la risoluzione di equazioni a derivate parziali. Viene quindi discussa una simulazione di riferimento, basata su una microstruttura semplice caratterizzata da una variazione transmurale dell'angolo elicoidale lineare. Successivamente, l'attenzione viene posta sulla microstruttura cardiaca, ed in particolare sul suo impatto sulle principali quantità meccaniche e sull'efficienza cardiaca. Viene prima studiata la variazione dell'angolo elicoidale all'interno della parete ventricolare, mantenendo però fissati i valori dell'angolo sia all'endocardio che all'epicardio: la differente proporzione tra le fibre disposte in senso longitudinale e quelle circonferenziali e la loro diversa collocazione all'interno della parete hanno una notevole influenza sul ciclo cardiaco, alterando non solo la distribuzione di deformazione e sforzo, ma anche l'efficienza e la funzionalità ventricolare. In particolare, viene studiata l'asimmetria del campo di fibre rispetto al centro della parete e la rapida variazione dell'angolo elicoidale al centro della parete o in prossimità dei bordi. Successivamente, l'attenzione viene posta invece sull'angolo trasverso, che introduce un accoppiamento meccanico tra il sub-endocardio e il sub-epicardio ed è responsabile della riduzione dello shear transmurale. A conclusione dell'analisi microstrutturale, viene valutato il ruolo meccanico delle strutture laminari del miocardio. Vengono poi analizzate due ulteriori problematiche modellistiche e numeriche: la prima riguarda l'introduzione nel modello meccanico del secondo invariante principale dello strain, che viene solitamente trascurato, e vengono proposti due differenti approcci per valutare l'importanza meccanica di questo invariante; in aggiunta, viene proposta una breve discussione riguardante l'imposizione delle condizioni al bordo nella formulazione variazionale.