Approximate solution methods for bounded nonlinear optimal control problems

This work deals with approximate methods for the solution of nonlinear optimal control problems, when constraints on the control action are considered. At first the main theoretical aspects of the problem are investigated, with particular relevance to the minimum principle. Then some typical bounded optimal control problems are considered (minimum-time, minimum-energy, minimum-fuel), and optimal control laws are derived by applying the minimum principle. The SDC (State-Dependent Coefficient) representation, based on the factorization of the dynamics, plays a central role in this work, since the main task is to find a method that is able to resort to the factorization technique even if bounds on controls are considered. Since this possibility has been rarely discussed in technical literature, a bibliographical research revealed to be necessary. The most important approximate methods have been investigated, and at the end a method based on Chebyshev series approximation of the state variables has been selected. This method proved to be able to solve minimum-energy problem when constraints on control action are considered. In addiction, the method has been modified in order to operate with the LTV systems that are originated by the application of factorization techniques to nonlinear dynamical systems. \\ Another method has been identified for the minimum-time optimal control problem. This method does not resort to factorization, but it shares with the previous method a benefit, since both of them can avoid the integration of co-state dynamics. Meaningful applications are then provided and discussed for both methods.

Questo lavoro si occupa di metodi approssimati per la soluzione di problemi di controllo ottimo nonlineare, nel caso in cui si considerino vincoli sull'azione di controllo. Anzitutto sono presi in esame i principali risultati teorici che riguardano il problema di controllo ottimo vincolato, in particolare l'importante principio del minimo. Quindi sono considerate alcune classi tipiche di problemi di controllo ottimo (minimum-time, minimum-energy, minimum-fuel) e tramite l'applicazione del principio del minimo si sono determinate le corrispondenti leggi di controllo ottimali. Le rappresentazioni basate sulla tecnica di fattorizzazione (SDC) hanno un ruolo centrale in questo lavoro, poiché l'intento principale è quello di individuare un metodo che possa ricorrere a una fattorizzazione della dinamica anche qualora si considerino vincoli sull'azione di controllo. Poiché questa possibilità è stato affrontata di rado in letteratura, si è resa indispensabile una ricerca tra i metodi approssimati più diffusi, che ha portato a selezionare un metodo diretto basato sulla approssimazione degli stati con serie di polinomi di Chebyshev, in grado di risolvere problemi a energia minima in presenza di vincoli sull'azione di controllo. Questo metodo è stato modificato per operare in maniera efficace con i sistemi dinamici LTV che si ottengono applicando la tecnica di fattorizzazione a dinamiche nonlineari. Un ulteriore metodo è stato individuato per il problema di controllo ottimo a tempo minimo. Questo metodo non ricorre alla fattorizzazione, ma condivide con il metodo precedente il pregio di non richiedere l'integrazione della dinamica del co-stato. Per entrambi i metodi sono proposte e discusse delle applicazioni significative.