Combined model order reduction and domain decomposition strategies for the solution of non-linear and multi-physics structural problems

The solution of many engineering problems requires realistic simulations of complex multi-physics (electro-mechanical, thermo mechanical, magneto-mechanical) and/or highly non-linear and irreversible processes (elastic-plastic, damage, fracture) which must be solved with sufficient accuracy. As a consequence, numerical models with a very large number of degrees of freedom must be built; despite the advent and maturation of high-performance computing, simulations remain computationally intensive in many fields, making use of standard finite element strategies. These restrictions call for solution techniques that replace large-scale computational models by simpler ones capable of reproducing their essential features with a drastically reduced computational cost. Model reduction presents a promising approach for realizing this goal. In this work, the coupled use of Domain Decomposition (DD) methodologies together with model order reduction techniques based on the use of Proper Orthogonal Decomposition (POD), is proposed. Starting from the DD technique, the DD algorithm used in this work is characterized by the enforcement of displacement continuity between initially decoupled sub-domains. Three model order reduction techniques coupled with DD are presented. First, a new strategy for the efficient solution of highly nonlinear elasto-plastic structural dynamic problems is proposed. The POD is applied to domains that remain elastic and a double strategy to update the reduced basis is adopted. First, a new version of Singular Value Decomposition proposed (SVD update) allows to update the reduced basis as soon as a new snapshot is stored; secondly, an on-line adaptation technique of the reduced space is performed, through a plastic check during the reduced analysis. The applications show that the computation time necessary for solving elasto-plastic problems can be reduced of approximately 50%, while keeping accuracy comparable to that obtained for the full model with a classical monolithic method. Secondly, an innovative numerical procedure, based once again on the combined use of a DD technique and of a POD methodology, is proposed, to simulate multi-physics electro-static structural dynamic problems. Coupled electromechanical problems are frequently encountered when dealing with micro electromechanical systems (MEMS): even assuming a linear elastic behaviour for the mechanical part, the overall coupled problem is nonlinear and its numerical solution can be extremely time consuming. The proposed approach is assessed through the analysis of the dynamic response of a doubly clamped beam and of a plane resonator subjected to an electrostatic actuation, showing computational gains up to 98%. Finally, the coupled use of DD and POD is used for the simulation of fracture problems under dynamic conditions. Assuming that fracture can propagate only inside one sub-domain, the fracture process is modelled according to the method proposed by Ing. Confalonieri; the POD is applied to sub-domains that remain elastic. Examples of fracture propagation show that the coupled use of DD and POD allows to obtain a reduction of the computational burden up to 30% with respect to reference DD algorithm.

La soluzione di molti problemi ingegneristici richiede l’accurata modellazione di complessi fenomeni multi-fisici (elettro-meccanici, termo-meccanici, magneto-meccanici) e/o fortemente nonlineari (elasto-plasticità, processi di danneggiamento, propagazione di frattura). La risoluzione attraverso un codice ad elementi finiti di questi modelli numerici, caratterizzati da un grande numero di variabili, rimane molto difficile, nonostante i recenti notevoli sviluppi del calcolo computazionale ad alte prestazioni. Da ciò nasce l’esigenza di utilizzare tecniche di riduzione d’ordine, che approssimando i complessi modelli originali con modelli ridotti e semplificati, sono in grado di riprodurre le caratteristiche essenziali dei modelli originali, riducendo drasticamente l’onere compitazionale. L’idea principale di questo lavoro è sviluppare una tecnica computazionale che utilizzi in modo accoppiato un metodo di decomposizione di domini con una tecnica di riduzione d’ordine basata sulla Proper Orthogonal Decomposition (POD). Il metodo proposto trae ispirazione dalla tecnica di decomposizione proposta da Gravouil e Comberscure, imponendo però la continuità degli spostamenti all’interfaccia tra i sottodomini. Tre varianti del metodo vengono proposte. La prima strategia si propone di risolvere problemi elasto-plastici di dinamica strutturale. La POD è applicata ai sottodomini che rimangono elastici attraverso due differenti strategie; (i) con una nuova versione della decomposizione in valori singolari (SVD update), che permette di aggiornare la base ridotta non appena viene calcolato un nuovo snapshots, (ii) con un adattamento run-time della base ridotta attraverso un controllo di plasticità. Gli esempi proposti mostrano come sia possibile ottenere un vantaggio computazionale di circa il 50% mantenendo un accuratezza dei risultati comparabile con quella ottenuta con un codice monolitico. La seconda procedura, basata nuovamente sull’uso accoppiato di tecniche di decomposizione di domini e modelli di riduzione d’ordine, ha come obiettivo la risoluzione di problemi elettro-meccanici. Tali problemi sono molto comuni nell’analisi del comportamento dei microsistemi; assumendo che i singoli problemi, meccanico ed elettrico, siano lineari, il problema accoppiato risulta essere nonlineare e la sua soluzione diventa molto onerosa dal punto di vista computazionale. Il metodo proposto mostra come sia possibile ottenere un vantaggio computazionale anche del 98% nella soluzione di problemi dinamici di una trave doppiamente incastrata e di un risonatore piano soggetti ad attuazione elettrostatica. Infine, viene proposto un metodo per la simulazione di problemi di propagazione di frattura sotto condizioni dinamiche. Assumendo che la frattura possa propagare solamente in un sottodominio, il problema nonlineare è stato modellato utilizzando la procedura proposta dall’Ing. Confalonieri, mentre la POD è stata applicata ai sottodomini che rimangono lineari. Gli esempi mostrano come l’uso di tecniche di decomposizione di domini insieme a modelli di riduzione d’ordine permettono di ottenere una riduzione del 30% del tempo di analisi rispetto al codice di riferimento.