Dynamics of cylindrical converging shock waves interacting with circular-arc obstacles

Cylindrical and spherical converging shock waves can be used to attain high energy concentration at the focus point, thus making them interesting for applications where high temperature and pressure are required, e.g. in Inertial Confinement Fusion (ICF). Unfortunately, converging shock waves suffer from corrugation instabilities which hamper the front regularity and reduce the shock intensity with respect to the axisymmetrical case. The stabilization of the converging shock wave may be obtained by means of the so-called “shock reshaping”, i.e. by changing the shock shape into a more stable one. Both numerical simulation and experimental measurements in the open literature point to the use of suitable shock-solid body interactions to reshape the converging waves into stable prismatic (for the cylindrical shocks case) or a polyhedral (for spherical implosions) ones. The topic of this work is the numerical study of cylindrical implosions in air, interacting with lenticular obstacles. The reference configuration was proposed in M. Kjellander, N. Tillmark, N. Apazidis, “Thermal radiation from a converging shock implosion”, Phys. of Fluids (2010), where wing-shaped obstacles are introduced to reduce the shock-obstacle losses. Lenticular obstacles, indeed, appear a good compromise between cylindrical and double-wedge obstacles, characterized by strong separation and losses. Diverse obstacle geometries (number, position and thickness) and operating conditions (shock intensity and gas conditions) are considered in this work. Obstacles are symmetrical lenticular airfoils with a thickness-to-chord ratio t/c varying between 0.07 and 1 on thirteen levels. The considered number of obstacles nobs is 0, 1, 4, 6, 8, 16 and 24. The obstacle leading edge radius is 7, 14 and 17.5. Simulations are performed using the FlowMesh code, a solver for Euler equations over unstructured grids. The integration with a novel multi-domain approach provides faster and very accurate solutions. Numerical results compare fairly well to theoretical models for the shock propagation and to available experimental results. The Mach reflections occurring at the obstacle leading and trailing edges and over symmetry surfaces result in the polygonalization of the shock wave, which continues propagating inwards as a stable, polygonal shock. The leading edge reflections are duly studied and classified here for the first time in the case of cylindrical shock waves interacting with cylindrical obstacles. Diverse reflection patterns are observed and the influential parameters are identified. Local reflection types qualitatively agree with the classical criteria for pseudo-steady reflections around planar obstacles. An analytic model for the description of the evolution of Regular Reflections is proposed. The dynamical transition of Regular into Mach Reflections during the shock propagation along the obstacle is identifies and its dependence on geometric and fluid-dynamical factors is exposed. Diverse aspects of the Triple Point trajectory in Mach Reflections are studied, resulting in some empirical correlations. Different shock patterns are observed after the leading edge reflection. Depending on the configuration and, therefore, on the resulting patterns, polygonal shock waves are observed with a time-dependent number of edges, switching among diverse nobs, 2nobs, 3nobs and 4nobs configurations. The largest temperature peak at the origin is obtained using a 16-obstacle array with the smallest thickness-to-chord ratio, and located at a radius of 14. A general decreasing of the focusing effectiveness is highlighted by the study of the effects of the adopted thermodynamic model, if the van der Waals model is considered. The applicability of the assumption of self-similarity of the shock temporal propagation is tested in conditions for which theoretical models are not available, by means of a fitting on numerical data. A novel method is used to detect the shock position in time in presence of very complex flow fields. Moreover, the effects of the thermodynamic model on the self-similarity exponent are evaluated. The unsteady shock wave convergence is observed in the pressure-specific volume plane. One-dimensional results show an excellent accordance with Hugoniot adiabat. On the contrary, a departure of numerical data concerning two-dimensional shock waves from analytic curves is observed, due to fast but intense transient phenomena in correspondence of the shock reflections.

È noto che le onde d'urto convergenti cilindriche e sferiche possono essere impiegate per la forte concentrazione di energia nel punto di focalizzazione. Questa proprietà le rende interessanti per applicazioni in cui alte temperature e pressione sono richieste, ad esempio per la Fusione a Confinamento Inerziale (“Inertial Confinement Fusion”, ICF). Tuttavia, le onde d'urto convergenti sono affette da corrugazione instabilità del fronte che ne riducono l'intensità rispetto al caso assialsimmetrico. Come mostrato in letteratura, la stabilizzazione delle onde d'urto si può ottenere tramite il cosiddetto “reshaping”, cioè modificandone la forma in una configurazione più stabile. Simulazioni numeriche e risultati sperimentali mostrano che, con un'adeguata interazione fra urti e ostacoli, si possono ottenere urti convergenti stabili di forma prismatica (per gli urti inizialmente cilindrici) o poliedrica (per urti sferici). Oggetto di questo lavoro è lo studio tramite simulazioni numeriche di onde d'urto cilindriche convergenti in aria che interagiscono con ostacoli lenticolari. La configurazione di riferimento è quella descritta in M. Kjellander, N. Tillmark, N. Apazidis, “Thermal radiation from a converging shock implosion”, Phys. of Fluids (2010), in cui urti cilindrici vengono resi poligonali dall'interazione con ostacoli aerodinamici al fine di ridurre le perdite dovute all'interazione urto/ostacolo. Gli ostacoli lenticolari appaiono infatti come un compromesso fra le caratteristiche degli ostacoli cilindrici e romboidali, che sono caratterizzati da separazione della corrente e perdite. In questo lavoro si considerano diverse geometrie degli ostacoli (numero, posizione e spessore) e condizioni operative (intensità dell'urto e condizioni del gas). Gli ostacoli sono profili simmetrici ad arco di circonferenza con rapposto spessore/corda t/c che varia da 0.07 a 1 su 13 livelli. Il numero di ostacoli nobs è 0, 1, 4, 6, 8, 16 a 24. Il raggio del bordo di attacco è pari a 7, 14 e 17.5. Per le simulazioni numeriche si utilizza il codice FlowMesh per la soluzione delle equazioni di Eulero su griglie non strutturate. L'accuratezza e la velocità delle simulazioni sono incrementate dall'utilizzo di un nuovo metodo per il calcolo multi-domain. Il confronto fra i risultati numerici con modelli teorici e risultati sperimentali mostra un buon accordo. Le riflessioni di Mach ai bordi d'attacco e d'uscita degli ostacoli e lungo le superfici di simmetria causano la poligonalizzazione dell'onda d'urto, che continua a propagarsi verso l'interno. Le riflessioni al bordo d'attacco sono qui studiate e classificate secondo il tipo di riflessione e i parametri influenti. Il confronto fra i valori locali e i criteri di riflessione nel caso pseudo-stazionario mostra un accordo qualitativo. Un modello analitico viene proposto per la descrizione dell'evoluzione delle riflessioni regolari. La transizione dinamica delle riflessioni regolari in riflessioni di Mach durante la propagazione di ogni urto viene descritta e correlata ai fattori geometrici e fluidodinamici. La traiettoria del punto triplo delle riflessioni di Mach viene studiata sotto vari aspetti e alcune correlazioni vengono proposte e discusse. A valle della riflessione al bordo d'attacco degli ostacoli, vengono osservate diverse strutture fluidodinamiche. A seconda dei parametri imposti e, di conseguenza, delle strutture rilevate, si osservano urti poligonali con un numero di lati pari a nobs, 2nobs, 3nobs o 4nobs e variabile nel tempo. Il massimo valore di temperatura al punto di focalizzazione si ottiene con una schiera di 16 ostacoli con t/c=0.07 e raggio pari a 14. Lo studio degli effetti del modello termodinamico mostra un generale scadimento dell'efficacia della focalizzazione dovuta a un'equazione termica di van der Waals. Una regressione sui dati permette di valutare l'applicabilità dell'ipotesi di autosimilarità della propagazione dell'urto nel tempo, anche dove questa non viene garantita da modelli analitici. La posizione dell'urto viene ricavata istante per istante tramite un nuovo metodo adatto a considerare soluzioni molto complesse. Vengono valutati inoltre gli effetti del modello termodinamico e del numero di ostacoli sull'esponente di autosimilarità. La propagazione instazionaria dell'urto viene osservata nel piano pressione-volume specifico. I risultati relativi a urti monodimensionali ricalcano perfettamente l'adiabatica di Hugoniot. Al contrario, dei brevi ma molto intensi transitori in corrispondenza delle riflessioni degli urti causano lo scostamento dei dati numerici dalle curve analitiche nel caso bidimensionale.