AN EFFICIENT ALGORITHM FOR AMERICAN OPTION PRICING BASED ON ROGERS' DUAL APPROACH

The recent history has shown the importance of having controlled and regulated markets, for avoiding crisis, like the one that invested American and European real economy in 2008. For this reason studying the pricing of options has had a relevant role in history and nowadays. On this purpose this master thesis has deeply analyzed the Rogers’ dual approach for pricing American options, trying to find improvements both from a theoretical point of view and from a practical point of view. On that objective we have firstly introduced the general mathematical theory for the pricing of American derivatives, in order to give all the necessary fundamental concepts for a better comprehension of the mathematics behind the Rogers’ theory, but, also, to give an idea of the diversity of Rogers’ theory with respect to others (Chapter 1). Secondly we have studied the dual approach. From a theoretical point of view we have found two characterisations of the martingales satisfying the infimum of the dual representation. From the application point of view, we have deeply analyzed the problems related to the dual approach, like the infinite dimension of the domain of the optimization problem and the non-differentiability of the objective function, showing different practical solutions to solve them. In particular we have explained the Nesterov’s theory and a method based on subgradient to solve the non-differentiability; in addition we have studied the Robbins-Monro stochastic algorithm, in order to use that instead of the classic sample average approximation in the computation part (Chapter 2). To make a step in future research we have explained the application of Wiener chaos decomposition in the dual problem, how it could apply and the importance of this application (Chapter 3). We have done an easy computation of the dual approach using Rogers’ solutions (Chapter 4) and a more complex one with Belomestny’s approach of the dual representation (Chapter 5). In particular on the second case, we have focused our attention on Belomestny’s solution for the infinite dimension of the domain, which recurs on Theorem of representation of martingales. In addition we have deeply analyzed the convexity of Belomestny’s setting, finding out a counter-example for the convexity of the variance. In particular we have improved the numerical translation taking care of the convexity of the problem and applying Robbins-Monro stochastic algorithm. Finally, for the case of American put options on a single asset we have refined the implementation and analyzed the convergence of Robbins-Monro algorithm.

La storia recente ha mostrato l’importanza di controllare e regolare i mercati, per evitare crisi economiche come quella che ha colpito l’economia americana ed europea nel 2008. Per questa ragione lo studio del pricing delle opzioni ha avuto un ruolo rilevante nella storia e lo ha tuttora nel presente. A questo scopo, questo lavoro di tesi ha analizzato a fondo l’approccio duale di Rogers per il pricing delle opzioni americane, cercando di trovare miglioramenti sia da un punto di vista teorico sia da un punto di vista applicativo. Considerando questo obiettivo abbiamo prima introdotto la teoria matematica per il pricing dei derivati americani, allo scopo di fornire tutti i concetti basilari, necessari per una migliore comprensione della teoria di Rogers, ma anche per dare un’idea della diversità di questa teoria rispetto alle altre (Capitolo 1). Secondariamente abbiamo studiato l’approccio duale. Da un punto di vista teorico abbiamo trovato due caratterizzazioni delle martingale che soddisfano l’estremo inferiore della rappresentazione duale. Da un punto di vista applicativo abbiamo analizzato in dettaglio i problemi ad esso relazionati, come la dimensione infinita del dominio e la non differenziabilità della funzione obiettivo, mostrando differenti soluzioni pratiche ad essi. In particolare abbiamo illustrato la teoria di Nesterov e un metodo basato sul sottogradiente per poter risolvere la non differenziabilità. Inoltre, abbiamo studiato l’ algoritmo stocastico di Robbins- Monro al fine di sfruttarlo in alternativa alla classica approssimazione della media campionaria (Capitolo 2). Per tracciare la strada di future ricerche abbiamo, inoltre, spiegato l’ applicazione al problema duale della decomposizione del chaos di Wiener, come questa potrebbe essere effettivamente applicata e la sua importanza (Capitolo 3). Abbiamo implementato un semplice esempio dell’approccio duale usando le soluzioni di Rogers (Capitolo 4) ed uno più complesso basato sull’approccio di Belomestny per la rappresentazione duale (Capitolo 5). In particolare nel secondo caso, abbiamo focalizzato la nostra attenzione sulla soluzione di Belomestny per la dimensione infinita del dominio, che ricorre al teorema di rappresentazione delle martingale. Non solo, abbiamo analizzato approfonditamente la convessità dell’impostazione di Belomestny, trovando un contro esempio della convessità della varianza. Abbiamo migliorato l’implementazione numerica prestando attenzione alla precedente analisi di convessità e utilizzando l’algoritmo stocastico di Robbins-Monro. Infine abbiamo applicato tutto lo studio al caso di un’opzione put americana su un singolo asset, correggendo la densità dei punti e applicando l’algoritmo di Robbins-Monro.